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Nosmoking (Nosmoking)
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Benutzername: Nosmoking
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 13:42: | 
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1. Das gleichseitige Dreieck ABC mit den Ecken A, B, C habe die Seitenlänge 2 und den Umkreis k
a) Berechnen sie den Flächeninhalt des kleineren der beiden Teile, in die der Kreis k von der Geraden AB geteilt wird (IST KLAR)
b) Berechnen sie die Länge einer Sehne von k, welche durch zwei Seitenmitten von ABC geht
c) Beweisen sie, dass es genau drei Geraden durch den Mittelpunkt von k gibt, von denen jedes das Dreieck ABC in zwei flächengleiche Teile zerlegt
2. Eine Hohlkugel mit AUßenradius R und Innenradius r wird von einer Ebene durch den Kugelmittelpunkt geschnitten, die Schnittfläche ist also ein Kreisring
a) Bestimmen sie den Flächeninhalt dieses Kreisringer (DIE AUFGABE IST KLAR: pi * (R²-r²)
b) Beweisen oder widerlegen sie: Je zwei Kreisringe, die ebene Schnitte dieser Hohlkugel sind, haben den gleichen Flächeninhalt (die müssen also nicht durch den Kugelmittelpunkt gehen) |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2648
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 16:42: |
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1b) die Sehne hat vom Mittelpunkt den Abstand
(1/2 - 1/3)h mit 3ecksHöhe h = 3R/2, R = UmkreisRad.
c)
aussen: R²-h²
innen: r²-h²
Ring: pi*[(R²-h²)-(r²-h²)]
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2649
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| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 16:44: |
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die letzten 3 Zeilen sind zu 2b, h= Abstand Eben,Kugelzentrum
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nosmoking (Nosmoking)
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Benutzername: Nosmoking
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 19:08: |
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Erst mal danke, aber wie kommst du auf die Lösungen? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2650
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2005 - 20:51: |
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die Symmetralen des gleichseitigen 3eck teilen
einander im Verhältnis 1 : 2 wie vielleicht auch aus
der Zeichnung erkennbar, daher R = 2h/3 .
Oder wo hapert es mit dem Verständnis?.
Zur Kugel mach Dir doch selbst mal eine Skizze!
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nosmoking (Nosmoking)
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Benutzername: Nosmoking
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2005 - 12:34: |
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Zur Kugel:
Ja, das sehe ich auch, nur, bedeutet das, dass egal wie ich die Schnittebene ansetze, dass der Flächeninhalt immer pi * (R²- r²) ist? Hmm, das kam mir nämlich zu einfach vor!
Zu der Aufgabe 1)
Für die b) das muss ich mir noch mal genauer anschauen, c) verstehe ich nicht ganz... |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2651
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2005 - 13:41: |
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zur Kugel: gilt natürlich nur solange die Schnittebene wengistens noch Tangential zu Innenkugel ist.
Zum 3eck sieh die wengistens Seite 8 dieser Doku an (gefunden hier )
ich übrigem frage bitte genauer was Dir unverständlich
ist.
(Beitrag nachträglich am 15., Februar. 2005 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Nosmoking (Nosmoking)
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Benutzername: Nosmoking
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 09-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2005 - 14:03: |
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Dann gehe ich es noch mal genau durch:
Zu 1b)
Ich sehe nicht, dass der Abstand zwischen Sehne und Mittelpunkt nur 1/6 h sein soll. Außerdem, selbst wenn ich das missverstehe und einfach nur der Lotabstand gemeint ist, dann wüsste ich nicht, wie mir das für die Aufgabe weiterhilft.
1c)
Also: Wenn ich es richtig verstehe, teilen die Seitenhalbierenden das Dreieck in 6 kongruente Dreiecke ein, jede einzelne Seitenhalbierende also in zwei flächengleiche Dreiecke. Ich muss ja in der Aufgabe zeigen, dass es eben nur diese drei Möglichkeiten gibt. So, wenn ich mir dann deinen ersten Link (in deinem ersten Post) anschaue, dann wird doch da gezeigt, dass dieser Winkel 0° oder 60° sein muss, und beides entspräche ja nur genau den Seitenhalbierenden. Nur leider werde aus der Rechnung einfach nicht ganz schlau, da fehlen mir scheinbar auch Kenntnisse in der Tangensrechnung!
Zu 2b)
Es muss ja so sein, dass die Ebene die Hohlkugel so schneidet, dass ein Kreisring entsteht. Wenn das nicht gegeben ist, d.h. nur die "äußere Schicht" geschnitten würde, wäre es ja kein Ring mehr, oder?
Vielen Dank für deine Hilfe |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2653
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| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Februar, 2005 - 15:00: |
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zu 1b)
dann glaubst Du also nicht, daß der Abstand
von den Seiten zum Mittelpunkt h/3 ist?
Je 2 Umkreisradien und eine Seite bilden
ein 3eck mit einem 3tel der Gesamtfläche,
seine Höhe über der Seite des gleichs.
3ecks muß also h/3 sein,
der verbleibende Rest von 2h/3 ist dann
der Radius des Umkreises
und
für die Sehnenlänge t muß, nach Pythagoras,
(t/2)²+ (h/6)² = (2h/3)² gelten
zu 1c)
...verstehst Du richtig.
Und wenn die Symmetrale, um den Mittelpunkt,
im Uhrzeigersinn,
gedreht wird, werden die Flächen ungleich:
oben, rechts der Symmetrale, geht Fläche verloren
unten, links von ihr kommt hinzu,
und an keiner Stelle der Drehung um 60° komm
gleichviel Fläche hinzu wie wegfällt,
außer eben dann wenn beide = 0 sind,
in den Grenzlagen 0° und 60°, also der nächsten
symmetrischen Lage,
womit
also die SeiteMittenSenkechten einzigen Flächenhalbierenden durch den 3ecksMittelpunkt sind.
Die
Additionstheoreme der Winkelfunktionen wirst Du
doch nachschlagen können?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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3eck
