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Integrieren mit Substitution

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Cjaeger (Cjaeger)
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Mitglied
Benutzername: Cjaeger

Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 16:53:   Beitrag drucken

hi,

hab wieder ne Aufgabe wo ich net ganz klar komm...

Man berechne folgende bestimmte Integrale durch Substitution:

a) Integral über (x^4)/(1+x^10) dx von -1 bis 1
b) Integral über Wurzel aus (e^x -1) dx in den Grenzen 0 bis ln2

sorry aber weiß net wie man Symbole und Formeln reinsetzt....


gruß
chris
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4740
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 18:26:   Beitrag drucken

Hi chris

Zu a)
da der Integrand y = x^4 / (1+ x^10 ) eine gerade Funktion
darstellt (Symmetrie bezüglich der y-Achse), setzen wir neu
die untere Grenze null, die obere nach wie vor 1.
Das gesuchte Integral J ergibt sich so:
J = 2 * K = 2 * int [y dx ], x= 0..1
Um K zu ermitteln, substituieren wir x ^ 5 = u,
also 5 x^4 dx = du.
In der neuen Variablen u erhalten wir
K = 1/5 * int [ 1 / (1 + u^2) * du, u = 0..1,
also K = 1/5 * Pi / 4,daraus
J = Pi / 10

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4741
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 18:50:   Beitrag drucken

Hi chris



zu b):

Empfehlung:
Substituiere sqrt (e^x - 1) = z; damit gilt für die Differentiale dx,dz:
e ^ x / [2 * sqrt (e^x – 1 )] * dx = dz, wegen e ^ x = z^2 + 1 wird daraus
(z ^ 2 + 1) / (2 z ) * dx = dz
Berechne damit zuerst das unbestimmte Integral bezüglich z
Resultat:
2 * [z – arc tan z ].

Mache die Substitution rückgängig und setze die Grenzen für x ein.
Resultat: das gesuchte bestimmte Integral lautet:

2 – ½ Pi.
°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Cjaeger (Cjaeger)
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Mitglied
Benutzername: Cjaeger

Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Januar, 2005 - 20:03:   Beitrag drucken

vielen dank, ihr seid echt klasse

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