| Autor |
Beitrag |
    
Panther (Panther)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Panther
Nummer des Beitrags: 166
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 19:01: | 
|
Hallo,
ich hoffe,ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen.
Von einer Funktion f:R->R ist bekannt, dass sie differenzierbar ist und die Gleichung f'(x)=2f(x) für alle x E R erfüllt. Warum muss f zweimal differenzierbar sein?
Ganz lieben Dank! |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1704
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 19:47: |
|
Hi
Ich würde es so machen:
Betrachte den Grenzwert
lim(h->0) (f'(x+h)-f'(x))/h
Wenn er existiert ist er gleich f''(x). Insbesondere ist f dann zweimal differenzierbar.
Wir formen den Grenzwert einfach ein wenig um:
lim(h->0) (f'(x+h)-f'(x))/h
=lim(h->0) (2*f(x+h)-2*f(x))/h
=2*lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h
=2*f'(x)=4*f(x)
Also existiert der Grenzwert und es gilt f''(x)=4*f(x).
MfG
Christian |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1043
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Januar, 2005 - 22:57: |
|
Geht's nicht auch einfacher? Da f'(x)=2f(x) und f differenzierbar, muss auch f' differenzierbar sein und somit f zweimal differenzierbar. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1707
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Januar, 2005 - 11:44: |
|
Geht's nicht auch einfacher? Da f'(x)=2f(x) und f differenzierbar, muss auch f' differenzierbar sein und somit f zweimal differenzierbar.
Stimmt, so gehts schneller 
MfG
Christian |
