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Sekuma (Sekuma)

Mitglied Benutzername: Sekuma
Nummer des Beitrags: 28 Registriert: 05-2004
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 13:23: |
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Mal wieder eine sehr gelungene aber für mich unverständliche Aufgabe Seien m,n beliebige natürliche Zahlen und p>2 eine Primzahl. Beweisen Sie, dass m^p-n^p zu p teilerfremd ist oder durch p^2 teilbar ist. |
   
Orion (Orion)

Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 948 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 14:36: |
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Sekuma, Angenommen, mp - np ist n i c h t zu p teilerfremd, d.h. also p | mp - np. Nun gilt nach dem kleinen Fermat'schen Satz : mp == m und np == n (mod p) (== steht für "kongruent "). Also mp - np == m-n (mod p) Nach Annahme ist somit m-n durch p teilbar, d.h. m == n (mod p) Weiter ist mp - np =(m-n)* Sp-1 k=0 mk np-1-k Jeder Summand des 2. Faktors ist == mk*mp-1-k = mp-1 == 1 (mod p), wieder nach dem kleinen Fermat. Die fragliche Summe hat p Summanden, und jeder ist ==1 (mod p), also ist sie selbst durch p teilbar. Daher ist mp - np durch p2 teilbar. mfG Orion
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