| Autor |
Beitrag |
    
Himbeersenf (Himbeersenf)
Junior Mitglied
Benutzername: Himbeersenf
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Januar, 2005 - 15:30: | 
|
Wie kann ich mit Hilfe des Additionstheorems die genauen Werte von sin(x), cos(x) und tan(x) bei x = pi/3, pi/4, pi/5 und pi/6 berechenen? Kenne nur die Werte bei pi/2.
brauch nicht gleich alle 12, ein oder zwei reichen. aber bitte für Dumme erklären!
Gruß Julia |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 949
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 08:22: |
|
Julia,
Starthilfe: Bekannt sind
cos p/2 = 0 , sin p/2 = 1 .
Die Verdoppelungsformeln
cos 2x = 2 cos2x - 1 ,
sin 2x = 2 cos x sin x
ergeben
cos p = - 1 , sin p = 0.
Rechnet man mittels Additionstheorem
sin 3x = sin (x + 2x) aus, so erhält man die Verdreifachungsformel
sin 3x = 3 sin x - 4 sin3x.
Setzt man hier x = p/3, so kommt
0 = sin p/3*(3 - 4 sin2p/3).
Für sin p/3 kommt daher genau einer der
3 Werte 0 , sqrt(3)/2 , - sqrt(3)/2 infrage.
mfG Orion
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1273
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 12:32: |
|
Nun muss verifiziert werden, welcher Wert wirklich in Frage kommt:
sin(PI/3) kann weder Null noch -sqrt(3)/2 sein, somit bleibt als (einzig richtiger) Wert sqrt(3)/2.
Für PI/4 kann die Formel
cos(x/2) = sqrt((1 + cos(x))/2) bzw.
sin(x/2) = sqrt((1 - cos(x))/2)
herangezogen werden. Dies folgt aus dem 2. Additionstheorem
cos(0) + cos(x) = 2cos(x/2)*cos(x/2)
1 + cos(x) = 2*cos^2(x/2)
cos^2(x/2) = (1 + cos(x))/2
analog
cos(0) - cos(x) = -2sin(x/2)*sin(-x/2)
1 - cos(x) = 2*sin^2(x/2)
sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2
Damit ist beispielsweise sin(PI/4) = sqrt(1/2), usw.
Das Vorzeichen der Wurzel muss dem 1. Quadranten entsprechen, also ist es positiv.
Gr
mYthos |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4727
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 13:08: |
|
Hi Julia
Ich probiere es auch einmal auf dem von Dir
gewünschten Niveau.
Es ist nur schwierig,
das bereits vorhandene Wissen zu negieren.
Nehmen wir an, wir möchten u = sin 30° bestimmen.
Wir haben die folgenden Kenntnisse:
- Wir kennen das Additionstheorem des Sinus.
- Die Sinuswerte supplementärer Winkel sind gleich.
- Sind die Winkel komplementär, so ist der Sinus des einen
gleich dem Kosinus des andern und vice versa.
- sin60° ist nicht null.
Dann kannst Du bereits argumentieren:
sin(60°+ 60°) = sin (120°) = sin 60 °
sin 60°cos 60° + cos 60° sin 60° = sin 60°
sin 60° hebt sich weg,hihi.
Es bleibt:
cos 60° + cos 60° = 1
2 * cos 60° = 1, also cos 60° = ½
als Zugabe;
daraus, wie gewünscht;
sin 30° = ½
°°°°°°°°°°°
Etwas schwieriger wird es hingegen, mit solchen Methoden
sin 36° zu berechnen!
Doch es gelingt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4728
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Januar, 2005 - 20:15: |
|
Hi allerseits
Ich bin gebeten worden,die Werte
u = sin (36°) und v = cos(36°) auf die in meinem
letzten Beitrag vorgeführte, nicht konventionelle Art,
herzuleiten.
Bekanntlich tauchen die Werte u und v allüberall bei den
regulären Fünf- und Zehnecken auf.
Beginnen wir mit v und nennen das Resultat im Voraus;
es lautet:
v = ½ tau, mit tau = ½ (1+sqtt(5))
Den Term tau kennen wir aus der Theorie und Praxis
des goldenen Schnitts.
Pro memoria: man kann tau - Potenzen linearisieren!
tau^2 = tau + 1
tau^3 = tau * (tau +1) = tau^2 + tau = 2 tau + 1
tau^4 = tau * (2 tau +1) = …= 3 tau + 2
etc.
rechts treten die Fibonacci-Zahlen an!
Man bestätigt leicht, dass die Zahl z = ½ * tau die Gleichung
8 z^3 – 8 z ^2 + 1 = 0………………………………………...(T)
befriedigt.
Andrerseits stoßen wir durch die folgende Rechenakrobatik
genau auf diese Gleichung (T):
Mit v = cos (36°) kommt der Reihe nach:
144° = 72° + 72°
cos 144°= cos (72° + 72°)
- v = 2 * (cos 72°) ^ 2 – 1
- v = 2 * [2 v^2 – 1 ] ^ 2 - 1
vereinfacht:
8 v^4 - 8 v^2 + v + 1 = 0
Scharfes Hinsehen bestätigt:
Diese Gleichung vierten Grades in v hat die Lösung
v = - 1 ,welche für unsere Belange irrelevant ist.
Wir spalten ab und bekommen schließlich, wie angekündigt,
die Gleichung (T).
Diese hat die Lösungen tau, ½ und ¼ (1- sqrt 5).
Die beiden letzten Lösungen kommen aus nahe liegenden
Gründen nicht in Betracht.
Damit ist das Nahziel erreicht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4731
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2005 - 18:13: |
|
Hi allerseits
In diesem Beitrag soll auf dieselbe Weise
u = sin (36°) berechnet werden.
Das Resultat sei vorweg genommen;
wir erhalten:
u = ¼ sqrt (2) * sqrt [5 – sqrt(5)] ~ 0,587785
Herleitung
Ansatz: 144° = 72°+72°
sin 144° = sin (72°+72°)
sin 36° = 2 sin 72° cos 72°
Mit den Doppelwinkelformeln für sin und cos und
der Bezeichnung sin 36° = u kommt
u = 4 u cos 36° * (1 – 2 u^2) wegen u nicht null:
1 = 4 sqrt [ (1- u ^ 2) ]*(1- 2 u^2)
Setzen wir u^2 = z, so entsteht die Wurzelgleichung
4 * (1 – 2 z) *sqrt(1 - z) = 1
mit der tauglichen Lösung
z = { 5 – sqrt (5) } / 8
daraus durch Radizieren:
u = ¼ sqrt [10 – 2 sqrt (5)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4732
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Januar, 2005 - 20:13: |
|
Hi
Zum Abschluss noch etwas Einfaches.
Gesucht wird mit der bewährten Methode
T = tan 60°
Der geneigte Leser und die geneigte Leserin
finden leicht die zugehörigen Kommentare selber.
Es bleibt ja immer etwas hängen!
tan 120° = tan (60° + 60°)
- T = 2 * T / (1 – T^2)
T^2 = 3
T = sqrt 3
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
|
