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Jaypi (Jaypi)
Neues Mitglied Benutzername: Jaypi
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 12-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 15:52: |
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Hallo erstmal! Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich voran und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann. Seien V und W normierte Vektorräume über IR mit Normen ||||_v bzw. ||||_w. Zeige, dass für lineare Abbildungen L:V->W die folgenden Aussagen äquivalent sind: a)L ist stetig b)L ist stetig in 0 c)Ex.c € IR für alle x € V : ||L(x)||_w<=c*||x||_v. Lieben Gruß, Jay-Pi |
Jaypi (Jaypi)
Neues Mitglied Benutzername: Jaypi
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 12-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 19:53: |
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Also ich hab da jetzt nochmal nachgedacht... a)=>b) ist trivial, denn wenn L stetig ist, ist L wohl auch in 0 stetig... Reicht das als Beweis? aber bei b)=>c) und c)=>a) fällt mir nix ein... |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 497 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Dezember, 2004 - 22:36: |
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Hi Jay-Pi, wenn man von der Linearität von L die Additivität ausnutzt reicht es die Stelle 0 zu betrachten, also sind a und b äquivalent. Da man weiter Skalare rausziehen kann reicht es die Beschränktheit auf dem Bild der Kugel vom Radius 1 zu betrachten: Ist die w-Norm darauf beschränkt, dann finde ich mein c, ansonsten finde ich eine Folge von x deren Bildnormen gegen oo geht und L ist nicht stetig in 0. sotux |
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