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Konvergenz nach Weierstraß

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1717
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 10:28:   Beitrag drucken

Hi,

ich soll zeigen, das:

S¥ n=0 1/(x2+n2) auf IR gleichmäßig konvergiert.

Nun gilt ja x2+n2 ³ n2, also:

1/n2 ³ 1/(x2+n2)

Also habe ich mit S¥ n=1 1/n2 eine absolut konvergente Majorante gefunden.

Also konvergiert die Reihe gleichmäßig.

Mein Frage is nur, wie verhält es sich für n=0, wie soll ich da die Reihe betrachten? Ich summiere die Reziproken der Quadrate ja erst ab 1! Man sieht ja das n = x = 0 ausgeschlossen werde muss. Sei aber x¹0, wie sieht es dann mit n=0 aus? Ich summiere dann unendlich oft 1/x2 auf...

Was soll ich machen? Oder reicht die Angabe der konvergenten Majorante aus? Oder soll ich die Reihe so schreiben:

S¥ n=0 1/(x2+n2) = 1/x2 + S¥ n=1 1/(x2+n2)
und dann meine Abschätzung. Dann sieht man auch das x = 0 ausgeschlossen werden muss! Aber muss auch n = 0 ausgeschlossen werden??

Natürlich ist mir die Reihe bekannt aus dem Forum hier, aber da lief der Index ab 1...

mfg
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2562
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 12:32:   Beitrag drucken

|x| >0:
1/(x²+0) + 1/(x²+1²) + 1/(x²+2²) + ...
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1718
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 13:21:   Beitrag drucken

Hi,

also reicht es hier x = 0 auszuschliessen, dann gilt für fast alle n:

1/(x2+n2) £ 1/n2

also bin ich schon fertig...??

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1697
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 14:47:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich bin der Meinung, dass das Weierstrass-Kriterium hier nicht funktioniert. Und zwar aus genau dem Grund, den du oben schon genannt hast. Wir finden kein passendes c0 aus IR, sodass |f0(x)|<c0 für alle x aus IR ohne 0. Die Funktionen 1/x2 (n=0) ist ja dummerweise nicht nach oben beschränkt ;)

Ich würde hier das Cauchykriterium anwenden. Damit ist man nämlich das Problem mit dem Summanden mit n=0 los.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1719
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 16:15:   Beitrag drucken

Hi Christian,

dann machen wir es so:

Sei m > n

Sn i=0 1/(x2+i2) - Sm i=0 1/(x2+i2) = Sm i=n+1 1/(x2+i2)

Nun gilt:

1/(x2+i2) £ 1/i2

Machen wir nun eine Indexverschiebung, so dass sie von n bis m-1 läuft, dann summieren wir über 1/(i+1)2.

So dann:

1/(i+1)2 < 1/(i(i+1)) = 1/i - 1/(i+1)

Also bekommen wir eine Teleskopsumme!!

Sm i=n+1 1/(x2+i2) < Sm-1 i=n 1/i - 1/(i+1) = 1/n - 1/m < 1/n < 1/n0 < e

Wenn wir also n0 > 1/e wählen ist die Cauchybedingung erfüllt! Also erfüllt diese Funktionenreihe die Cauchy Bedingung!

Mich wunderte es nur! Die Aufgabe lief unter dem Titel: Weierstraß Kriterium für gleichmäßige Konvergenz!
Aber diese Probleme mit dem Summationsindex sind dafür wohl unüberwindbar!!

Hauptsache wir kommen doch noch zum Ziel.

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1698
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 17:06:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich merke gerade, dass ja gerade aus dem Cauchykriterium folgt, dass man beim Weierstraßschen Kritrium nur fast alle Funktionen 1/(x2+n2) abschätzen muss.
Oder allgemeiner. Sei S¥ n=0 fn eine Reihe von Funktionen. Weiter sei (cn) eine Folge und S¥ n=0 cn eine absolut konvergente Reihe. Außerdem soll gelten: |fn(x)|£cn für alle x aus einem vorher gewählten Definitionsbereich und für alle n³N.
Dann existiert zu e>0 ein K mit S¥ k=K |ck|<e.

Damit folgt aber für m>n³K:
|Sm k=0 fk - Sn k=0 fk|
£ Sm k=n+1 |fk|
£ Sm k=n+1 |ck|<e

Und damit konvergiert die Reihe S¥ k=0 fk gleichmäßig.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1720
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 20. Dezember, 2004 - 22:34:   Beitrag drucken

Hi Christian,

danke erstmal!

Also können wir cn = 1/n2 als Majorante setzen und nutzen dann aus das die Folge Sm k=n+1 1/k2 eine Cauchyfolge ist.

Aber dann habe ich immer noch das Problem das S¥ k=0 ck ab null laufen muss. Oder sehe ich das jetzt was falsch, oder sage ich für n³1 gilt...? Müssten wir x = 0 eigentlich aussen vor lassen??

mfg

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