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Sekuma (Sekuma)
Mitglied
Benutzername: Sekuma
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 05-2004
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 13:23: | 
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Hallo brauche mal wieder eure Hilfe.
Seien a, b,c von Null verschiedene natürliche Zahlen mit a^2+b^2=c^2.
Beweisen sie, dass 12 das Produkt ab und 60 das Produkt abc teilt.
Vielen Dank  |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1051
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 13:34: |
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a = 3q
b = 4q
c = 5q
mit q aus IN
ausnahme:
a = 5q
b = 12q
c = 13q
hier: 60 | ab, damit gilt auch 60 | abc
falls nicht gilt: 5 | ab, dann muß gelten 5 | c
(Beitrag nachträglich am 18., Dezember. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1052
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Dezember, 2004 - 15:14: |
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daß ab zumindest durch 2 teilbar sein muß, kann man durch folgendes zeigen
angenommen dies ist nicht der Fall, dann sind a und b ungerade
(2m+1)^2 + (2n+1)^2 = 4m^2 + 4n^2 + 4m + 4n + 2
die rechte Seite ist nicht durch 4 teilbar, somit auch nicht Quadrat einer nat. Zahl
ab soll durch 4 teilbar sein, d.h. für a, b gerade ist das gegeben, also kanns nur für a ungerade und b gerade oder umgekehrt anders sein;
(2m+1)^2 + (2n)^2 = 4m^2 + 4m + 1 + 4n^2
zu zeigen:
4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 ist nur dann quadratisch für m, n nat. wenn n gerade ist;
Quadratzahlen haben bei Division durch 4 entweder Rest 1 oder 0, nie die Reste 2 oder 3
bei Division durch 16 haben Quadratzahlen die Reste: 0, 1, 4, 9
für gerade m hat
4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 nur dann den entsprechenden Divisionsrest Modulo 16, wenn n gerade ist;
für ungerade m:
4(2k+1)^2 + 4(2k+1) + 1 + 4n^2 = 16k^2 + 8k + 4 + 8k + 4 + 1 + 4n^2 = 16(k^2+k) + 9 + 4n^2
mit m = 2k+1
4m^2 + 4m + 1 + 4n^2 hat hier ebenfalls nur dann den entsprechenden Divisionsrest Modulo 16, wenn n gerade ist;
sobald n gerade ist, ist ab durch 4 teilbar;
Teilbarkeit durch 3
a^2 + b^2 = c^2
angenommen weder a noch b ist durch 3 teilbar:
(3m+/-1)^2 + (3n+/-)^2 = 9m^2 +/- 6m + 1 + 9n^2 +/- 6n + 1 = 9m^2 + 9n^2 +/- 6m +/- 6n + 2 =
3( 3m^2 + 3n^2 +/- 2m +/- 2n ) + 2
Quadratzahlen haben bei Division durch 3 nie Rest 2!
daher ist auch 3 ein Teiler von ab
Teilbarkeit durch 5
a^2 + b^2 = c^2
angenommen weder a, b, c sind durch 5 teilbar
Fall 1
(5m+/-1)^2 + (5n+/-1)^2 = 25m^2 + 25n^2 +/- 10m +/- 10n + 1 + 1
auch hier, keine Quadratzahl hat Rest 2 bei Div. durch 5!
Fall 2
(5m+/-1)^2 + (5n+/-2)^2 = 25m^2 + 25n^2 +/- 10m +/- 20n + 1 + 4 = 5( 5m^2 + 5n^2 +/- 2m +/- 4n + 1)
zu zeigen, der Klammerausdruck ist nicht durch 5 teilbar ...
5m^2 + 5n^2 +/- 2m +/- 4n + 1 == 0 (mod 5)
+/- 2m +/- 4n + 1 == 0 (mod 5)
m = 0, n = 0 -> f. A.
m = 1, n = 0 -> f. A.
m = 2, n = 0 -> f. A. für c nicht durch 5 teilbar => 5 teilt c
m = 3, n = 0 -> f. A.
m = 4, n = 0 -> analog m = 2
...
Fall 3
(5m+/-2)^2 + (5n+/-2)^2 = 25m^2 + 25n^2 +/- 20m +/- 20n + 4 + 4
auch hier, keine Quadratzahl hat Rest 3 bei Div. durch 5!
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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