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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1687
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 21:33: | 
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Nabend allerseits,
ich suche eine Umordnund von folgender Reihe:
sum[ (-1)^(k+1)/sqrt(k) ] [k=1..inf]
Das diese existiert ist klar, da die angegebene Reihe zwar nach Leibnitz konvergiert, aber nicht abslout konvergiert. Also ist die Summe der Reihe nicht invariant gegenüber Umordnungen. Es muss insbesondere eine Umordnung geben, die divergiert!
Ich könnte zwar eine divergente Teilfolge angeben z.B die der ungeraden Zahlen, aber das ist glaube ich nicht das Ziel bei dieser Aufgabe, mein Ü-Leiter würde wohl wieder sagen, das sei zu trivial als Beispiel!
Deshalb, wie könnte eine Umordnung aussehen die divergiert. Wie muss ich die Glieder dann anordnen?
Bin für jeden Tipp dankbar!
mfg |
Vredolf (Vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Vredolf
Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. November, 2004 - 23:24: |
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Wie wär's statt mit (un)geraden Zahlen mit Primzahlen und
zusammengesetzten Zahlen?
Für k prim ist k+1 (fast) immer gerade, da aber sogar die zusammeng. geraden Zahlen
"öfters vorkommen" und auch überall vorkommen, divergiert die Umordnung.
Hab das nur geschrieben, weil du für jeden Tipp dankbar bist. :o)
(Beitrag nachträglich am 23., November. 2004 von vredolf editiert) |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1688
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 09:16: |
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Hi,
hm, mit Primzahlen bin ich vorsichtig...
Ich suche eher eine Umordnung, wie bei der alternierenden harmonischen Reihe:
Man fast die Glieder ungerader Ordnung von 1/(2^n + 1) bis 1/(2^(n+1) - 1) zusammen und schätzt diese gegen 1/4 ab.
Die Partialsummen können daher über alle Grenzen wachsen.
So was suche ich, aber ich finde keine ordentliche Abschätzung oder Umordnung, die Wurzel stört da am meisten!
Noch ne andere Idee  ?
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1647
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 12:54: |
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Hi Ferdi
Wir zeigen zunächst mal, dass eine natürliche Zahl N existiert, sodass
[Sk-1 n=0 1/sqrt(1+k*(k-1)+2n)]-1/sqrt(2*k) > 1/2 gilt für alle k³N.
Das sieht man wie folgt. Es gilt
[Sk-1 n=0 1/sqrt(1+k*(k-1)+2n)]-1/sqrt(2*k)
³k/sqrt(1+k*(k-1)+2(k-1))-1/sqrt(2*k)
=k/sqrt(k2+k-1)-1/sqrt(2*k)
Der linke Summand konvergiert gegen 1, der rechte gegen 0, die Differenz konvergiert demnach gegen 1>1/2. Also existiert ein N aus IN mit
[Sk-1 n=0 1/sqrt(1+k*(k-1)+2n)]-1/sqrt(2*k) > 1/2 für alle k³N.
Damit sind wir fertig. Betrachte einfach die Umordnung
[1/sqrt(1)-1/sqrt(2)]
+[1/sqrt(3)+sqrt(5)-1/sqrt(4)]
+[1/sqrt(7)+sqrt(9)+sqrt(11)-1/sqrt(6)]
+[1/sqrt(13)+1/sqrt(15)+1/sqrt(17)+1/sqrt(19)-1/sqrt(8)]
usw.
Nach unserer Formel oben sind fast alle der Terme in den eckigen Klammer >1/2 , also divergiert die umgeordnete Reihe
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1689
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 14:41: |
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Hi Christian,
besten Dank! So was hab ich gesucht.
Mir stellt sich nur eine Frage: Ich habe ziemlich lange nach so einer Abschätzung gesucht, wie bist du darauf gekommen? Erfahrung? Bücher? Oder war es "Eingebung"?
Es war exakt deine erste Formel die mir gefehlt hatte zur Lösung! Wo hast du sie her?
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1648
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 17:36: |
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Hi Ferdi
Ich bin folgendermassen vorgegangen: Zuerst habe ich mir eine Umordnung ausgedacht, die nicht besonders kompliziert ist, die aber trotzdem funktionieren könnte. Das fällt wohl unter "Eingebung"
Dann war ich beim letzten Teil vom obigen Beweis, d.h.
[1/sqrt(1)-1/sqrt(2)]
+[1/sqrt(3)+sqrt(5)-1/sqrt(4)]
+[1/sqrt(7)+sqrt(9)+sqrt(11)-1/sqrt(6)]
+[1/sqrt(13)+1/sqrt(15)+1/sqrt(17)+1/sqrt(19)-1/sqrt(8)]
usw.
Davon habe ich dann die ersten paar Zeilen in Maple eingegeben um zu schauen was passiert. Dabei stellt man fest, dass die Zeilen nach unten größer werden. Ab der zweiten Zeile war der Wert größer als 1/2. Das war dann ja schon mal ein guter Ansatz
Als nächstes habe ich mir dann überlegt wie ich das Ganze in eine Formel packe. Herausgekommen ist die Formel von oben. Nur die musste ja noch bewiesen werden ;)
Zuerst wollte ich zeigen, dass die Terme monoton wachsen, wenn k größer wird. Das scheint mir aber nicht so ganz einfach und ich habe es dann auch nicht weiter versucht(damit hätte man natürlich eine noch bessere Abschätzung!). Statt dessen habe ich die Abschätzung von oben benutzt, die leichter und für unsere Zwecke ausreichend ist.
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1690
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. November, 2004 - 17:41: |
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Alles klar!
Danke! Ist ja fast schon ein richtiges Rezept!
mfg |
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