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Ordnung zyklischer Permutationen

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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 103
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Oktober, 2004 - 20:48:   Beitrag drucken

Hallo,

heute wurde bei mir das Thema eingeführt und habe dazu paar Aufgaben und ich weiß den Ansatz bei keiner. Ich schreib mal eine von denen.

Die Ordnung o(a) eines Elements a E G einer endlichen Gruppe ist
o(a) := min{k E N (natürliche Zahlen) | a^k = e}.

1.1 Sei omega = o_1 * .... *o_m E S_n, wobei o_1, ..., o_m zyklische Permutationen mit paarweise disjunkten Trägern sind. Sei k_i := o(o_i).
Bestimmen Sie o(omega) und sign(omega) in Abhängigkeit der Zahlen k_1,...,k_m.

1.2. Sei v = (139) (25176) (297814) E S_g. Schreiben Sie v als Produkt zyklischer Permutationen mit paarweise diskjunkten Trägern und bestimmten Sie o(v) und sign(v).

Über Hilfe würde ich mich sehr sehr freuen!!
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Markus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 20:27:   Beitrag drucken

1.1 Die Ordnung von omega ist kgV der Ordnungen der Komponenten, also kgV(k_1, ..., k_n).
sign ist multiplikatv; es genügt also sign(o_i) zu kennen;
sign(o_i)=(-1)^(k_i-1) da sich o_i aus k_i-1 Transpositionen zusammensetzen lässt

1.2 Bei Rechtsmultiplikation ist das Ergebnis: (1,4,5,3,9,6,2)(7,8)
Bei Linksmultiplikation: (1,3,7,6,9,8)(2,5,4)

Hinweis: das wunderbare Programm gap (Groups, Algorithms, Programs) benutzen
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Merci (Merci)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 20:39:   Beitrag drucken

Danke Danke!!

zu 1.2 habe ich noch eine Frage.
Was ist (1,4,5,3,9,6,2)(7,8) ? Ist das o(v) ??
Und was ist (1,3,7,6,9,8)(2,5,4) ??

Kann man das so auf Anhieb herausbekommen, oder braucht man Zwischenschritte??
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Markus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. November, 2004 - 14:36:   Beitrag drucken

Das ist die Zyklenschreibweise; (1,4,3) stellt den Zyklus 1 - 4 - 3 - 1 dar.
Wird die Permutation p auf ein Element x angewandt, schreibt man
x p (Linksmultiplikation)
oder
p x (Rechtsm.)

Deshalb also zwei Ergebnisse.

Die Ordnung der Permutation wäre je nach Art der Multiplikation 14 oder 6.

«so auf Anhieb» - das hängt vom Vorwissen ab.

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