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Emrepb (Emrepb)
Mitglied
Benutzername: Emrepb
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Oktober, 2004 - 02:13: | 
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Hallo an alle experten...brauche dringend hilfe!
Gegeben:
Seien N,M Element N(Natürliche Zahlen) >=2. Die multiplikative Gruppe Z^x N ist definiert als:
Z^x N = {1 <= a < N : ggT(a,N) = 1
und die Eulersche (Phi)Funktion Phi(N)=#Z^x N
gcd(a,N) = 1 <=> a invertierbar modulo N.
Dies bedeutet, daß wir auch einen Gruppenisomorphismus haben
Z^x N-->Z^x m0 x....x Z^x ml-1
f mod N --> (f mod m0,..., f mod ml-1)
Zeige:
i) Phi(N)= N-1, falls N Prim
ii) Phi(N)= (p-1)p^Epsilon-1, falls N=p^Epsilon und p Prim
iii) Phi(NM)=Phi(N)*Phi(M), falls N und M teilefremd sind (Tip: Verwende den CRS)
Satz (Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt:
i) für jede Untergruppe H von G: #H | #G
ii) für jedes Gruppenelement a Element G:a^#G=1
Danke im Voraus!!
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1722
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. Oktober, 2004 - 16:29: |
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Hallo Emrebp,
wenn p prim ist, gilt für jedes x mit 1 <= x < p, dass ggT(x,p) = 1. Also phi(p) = p-1.
ii) Wenn N = p^n für eine Primzahl p, dann hat ein x mit 1 <= x < N höchstens den Faktor p gemeinsam. Also gilt genau für die Vielfachen x von p, dass ggT(x,N) > 1. Unterhalb von N gibt es davon p^(n-1) viele. Somit phi(n) = p^n - p^(n-1).
iii) Betrachte die Abbildung
{0,...,N-1} x {0,...,M-1} -> {0,1,...,NM-1}
die definiert ist durch
(a,b) -> k
wobei k = a mod N und k = b mod M (CRS!)
Zeige, dass diese Abb. bijektiv ist. |
Emrepb (Emrepb)
Mitglied
Benutzername: Emrepb
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 22:32: |
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Danke für deine ausführliche Lösung....könntest du auch was zum Satz von(Lagrange) etwas sagen??
Mfg
EmrePB |
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