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Cantorsche Diagonalisierungsverfahren

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Gingeralien (Gingeralien)
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Neues Mitglied
Benutzername: Gingeralien

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Oktober, 2004 - 21:25:   Beitrag drucken

Warum ist der folgende "Beweis" falsch? ZZ: IN x IN ist nicht abzählbar. Jede natürliche Zahl u lässt sich eindeutig darstellen als unendliche Bitfolge (u0; u1; u2; ...). Erweitert um die Menge der Paare natürlicher Zahlen kann (u; v) dargestellt werden durch die verschränkte Bitfolge (u0; v0; u1; v1; u2; v2; ...).
Wir nehmen nun an, dass eine Aufzählung von IN x IN existiert (= Aufzählung solcher
Bitfolgen). Wendet man darauf das Cantorsche Diagonalisierungsverfahren an, so erhältlt man ein Paar, das in der Aufzaehlung nicht vorkommt. Damit haben wir einen Widerspruch
erzeugt und folgern, dass IN x IN nicht aufzählbar ist.

Was ist an diesem Beweis falsch?
(vielleicht, weil das Paar, daß in der Aufzählung nicht vorkommt, nicht wirklich zur Bildmenge dazugehört??)
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 445
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 15:57:   Beitrag drucken

Hi,

der Fehler liegt darin, dass zu den natürlichen Zahlen nur die abbrechenden Folgen gehören, also die, die irgendwann nur noch aus 0 bestehen. Die Abbildung von N auf die Menge der Binärfolgen ist keine Bijektion ! Was du beweist ist die Überabzählbarkeit von R^2, R hat nämlich die Mächtigkeit der Binärfolgen.
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Gingeralien (Gingeralien)
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Neues Mitglied
Benutzername: Gingeralien

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Oktober, 2004 - 22:07:   Beitrag drucken

danke

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