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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4543 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 09:38: |
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Hi allerseits In den Aufgaben LF 503 bis LF 507 erscheinen homogene Koordinaten, die in der projektiven Geometrie von einigem Nutzen sind. Es ist schon auch an der Zeit, Bekanntschaft mit diesen Punktkoordinaten in der (x,y)-Ebene zu machen. In der Aufgabe LF 513 sollen entsprechend auch homogene Koordinaten für Geraden eingeführt werden; gemeint sind die so genannten Linienkoordinaten für Geraden. Wir führen die homogenen Punktkoordinaten so ein: Gegeben sei ein beliebiger Punkt A(X/Y) dieser Ebene, der vom Nullpunkt O verschieden sein soll. A bestimmt mit O die Ursprungsgerade g = OA, deren Koordinatengleichung y = Y/X * x lautet, oder in der üblichen Parameterdarstellung mit s als Parameter: x = s * X , y = s * Y. Wir wechseln den Parameter und setzen s = 1 / T; so entsteht die Parameterform für g: x = X / T , y = Y / T Damit ist ein beliebiger Punkt P auf g durch drei Koordinaten X,Y,T, die homogenen Koordinaten, bestimmt; Schreibweise: P(X:Y:T) Für einen gegebenen Punkt P ist das Tripel der homogenen Koordinaten nur bis auf Proportionalität bestimmt. Das Tripel (0:0:0) ist auszuschließen Speziell: Ist T = 0, so ist der betreffende Punkt ein unendlich ferner Punkt (uneigentlicher Punkt) ; Beispiel U(3:4: 0) stellt den unendlich fernen Punkt der Geraden y = 4/3 x dar. Ist T = 1, so erhält man die gewöhnlichen Koordinaten. P(3:4:1) ist identisch mit P(3/4). Abschließend: Jedem zulässigen Wertetripel X,Y,T homogener Koordinaten ist ein eindeutig bestimmter eigentlicher oder uneigentlicher Punkt zugeordnet. Jedem eigentlichen oder uneigentlichen Punkt entspricht, abgesehen von einem Faktor, ein bestimmtes Zahlentripel X,Y,T. Die Aufgabe LF 503 ist in einzelne Kurzaufgaben gegliedert; diese lauten: (1) Gegeben sind die Punkte ´ P(2:-4:2), Q(0:0:13),R(6:6:0). Welches sind die gewöhnlichen Koordinaten dieser Punkte? (2) Wie lauten die Gleichungen der x-Achse, der y-Achse und der unendlich fernen Gerade in homogenen Koordinaten? (3) Welches sind die homogenen Koordinaten des Nullpunktes, des unendlich fernen Punktes der x-Achse und des unendlich fernen Punktes der y-Achse? (4) Man schreibe die Gleichung der Verbindungsgerade der Punkte P(3:-1:2), Q(2/2/1) in homogenen Koordinaten an. (5) Dasselbe für P(4:1:3), Q(2:3:0) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1663 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 13:45: |
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Hi megamath, hier mal ein paar meiner Lösungen: zu 1) x = X/T , y = Y/T also: P (2/-4/2) ==> P'(1/-2) Q (0/0/13) ==> Q'(0/0) R (6/6/0) ===> unendlich ferner Punkt von y=x Zu 2) x-Achse: Y = 0 y-Achse: X = 0 unendlich ferne Gerade: T = 0 zu 3) Homogene Koordinaten des Nullpunktes: (0/0/r) mit r € R\ {0} unendlich ferner Punkt der x-Achse: (r/0/0) mit r € R\ {0} unendlich ferner Punkt der y-Achse: (0/r/0) mit r € R\ {0} zu 4) Hier habe doch einige Schwierigkeiten! Weil es verschiedene T sind. Ich dachte erst daran erst in kartesische Koordianten zu rechnen: P'(1,5/-0,5) ; Q'(2/2) y = 5x - 8 Dann Y/T=5*X/T-8, also Y = 5X - 8T, aber hier kam dann das Problem mit den verschiedenen T's...Anders hab ich bis jetzt auch noch kein Weg gefunden! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4544 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 14:39: |
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Hi Ferdi Du hast die Aufgaben bravouröst gelöst (um des Reimes willen!). zu(4) Resultat. 5 X – Y – 8 T = 0 ALLE Koeffizienten dürfen noch mit einem von null verschiedenen Faktor multipliziert werden! zu (5) Hier ist die Steigung m bekannt. Für die Aufgaben (4) und (5) zeige ich vielleicht später eine Geheimlösung, welche Insider benützen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1664 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 19:15: |
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Hi megamath, zu 5) Wieso ist die Steigung bekannt? Wir haben doch T = 0? Hm, ein wenig gewöhnungsbedürftig diese Sachen... An Insiderlösungen bin ich immer interessiert! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4545 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 21:05: |
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Hi Ferdi Nimm den Punkt Q*(2:3:1) zu Hilfe Die Gerade g* = OQ* hat die Gleichung y = 3 /2 x und den unendlich fernen Punkt Q(2:3:0) Die gesuchte Gerade ist dazu parallel und hat die gewöhnliche Gleichung y = 3 /2 x - 5 / 3 oder homogen: - 9 x + 6 y + 10 t = 0 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4546 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 21:09: |
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Hi Fredi Zu den Teilaufgaben (4) und (5). Man kann diese Aufgaben auch spielerisch dadurch lösen, dass man die Komponenten von Vektorprodukten bildet! Bei (4) ist dies das Kreuzprodukt p der Vektoren a := {3;-1;2} und b:= {2;2;1} Versuche, dies durchzuziehen! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1665 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Oktober, 2004 - 23:00: |
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Hi megamath, es funktioniert tatsächlich! c = a x b = { -5 , 1 , 8 } Nun c*{X,Y,T} = 0 -5X + Y + 8T = 0 5X - Y - 8T = 0 Ebenso bei 5) a = {4,1,3} , b = {2,3,0} c = a x b = {-9,6,10} c*{X,Y,T} = 0 -9X + 6Y + 10T = 0 mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4547 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Oktober, 2004 - 12:15: |
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Hi Ferdi Genau so ist das gemeint; das gibt zu denken! Ich komme später auf die Angelegenheit zurück. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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