Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1536 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. September, 2004 - 15:59: |
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Hallo Dagi Sei zunächst a ein Eigenwert der linearen Abbildung T:V->V. Dann gilt Tv=av für geeignete v ungleich 0 aus V. Damit gilt Tv-av=0 <=> (T-a*1)*v=0 Hier ist mit 1 die Einsabbildung gemeint. Also liegen Vektoren v ungleich 0 im Kern von T-a*1. Damit ist aber T-a*1 nicht invertierbar und somit ist die Determinante der Darstellungsmatrix 0. Es folgt also, dass jeder Eigenwert Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass auch jede Nullstelle des charakteristischen Polynoms ein Eigenwert ist. Sei also a eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Dann gilt det(T-a*1)=0 Damit ist T-a*1 aber nicht invertierbar, also ist Ker(T-a*1)¹0 Also existieren Vektoren v ungleich 0 aus V, sodass (T-a*1)v=0 <=> Tv=av Damit ist alles gezeigt. MfG Christian |