| Autor |
Beitrag |
    
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1190
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 12:02: | 
|
Hallo Leute,
ich habe folgenden Wurzelabschätzung gefunden:
sqrt(n+1)-sqrt(n)~1/(2*sqrt(n))
wenn n->¥ strebt.
Wie kommt diese Abschätzung zu stande? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2329
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 12:22: |
|
den "Bruch" mit Wurzel(n+1) + Wurzel(n) erweitern
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1191
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 13:25: |
|
Hi Friedrich, "erweitern" ist vielleicht der falsche Ausdruck, du meinst sicher folgendes:
sqrt(n+1)-sqrt(n)~1/(2*sqrt(n))
1~(sqrt(n+1)+sqrt(n))/(2*sqrt(n))
1~(sqrt(n)*[sqrt(1+(1/n))+1]/(2*sqrt(n)
die sqrt(n) kürzen sich, und für n->¥ strebt der Zähler gegen 2, also
1~2/2=1 alles wie gewünscht!
Das "erweitern" hat mich irritiert...
N. |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 947
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 16:41: |
|
Was stört dich an dem Begriff des Erweiterns?
Ö(n+1)-Ön = (Ö(n+1)-Ön)*(Ö(n+1)+Ön) / (Ö(n+1)+Ön)
= ((n+1)-n)/ (Ö(n+1)+Ön) = 1/(Ö(n+1)+Ön)
-> 1/(2Ön)
|
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2330
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 16:53: |
|
mit "den Bruch"
meinte die linke Seite, also
[sqrt(n+1)-sqrt(n)] / 1
"Bruch" deshalb "apostrophiert" weil Nenner=1
also
sqrt(n+1)-sqrt(n)
=
[sqrt(n+1)-sqrt(n)]*[sqrt(n+1)+sqrt(n)]
/
[sqrt(n+1)+sqrt(n)]
=
1/[sqrt(n+1)+sqrt(n)]
und
das strebt gegen 1/[2*sqrt(n)]
für n gegen Unendlich
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1192
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 17:49: |
|
Achso, wenn man die Linke seite betrachtet ist das klar mit dem "Bruch". Ich bin immer von der rechten Seite ausgegangen. Wie man sieht funktioniert das auch, auch wenn man so rechnet als wäre es eine Gleichung, ist aber nur eine Ungleichung...
viele Wege füren zum Ziel.
N. |
