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lim ln(x)/x für x->0

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » lim ln(x)/x für x->0 « Zurück Vor »

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1132
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 08:49:   Beitrag drucken

Hi Leute,

mir ist diese Frage eigentlich wirklich peinlich,

aber wie kann ich Beweisen das:

lim ln(x)/x=-¥

für x->0 ist???

Ich meine, wenn man sich den ln hinmalt ist die Behauptung offensichtlich, aber das ist ja kein formaler Beweis....

Ich dachte man könnte das mit L`hospital beweisen, aber irgendwie bekomme ich immer als Ergebnis +¥...

vieln Dank für eure Antwort.

Gruß N.
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Kläusle (Kläusle)
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Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 574
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 09:36:   Beitrag drucken

Hallo,

schreibe doch den Bruch um in:

lim ln(x) * 1/x für x-->0

Dann steht bei der Grenzwertbetrachtung:
-oo * oo = -oo




MfG Klaus
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 894
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 09:49:   Beitrag drucken

Niels,

Für alle x > 0 und x‡ 1 gilt

(x-1)/x < ln x < x-1.

Sei K>0 vorgegeben. Dann ist

(ln x)/x < - K sobald 0 < x < 1/(1+K).




mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1133
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 12:54:   Beitrag drucken

Hi Kläusle und Orion,

@Kläusle:

sehr einleuchtend die Rechnung, aber mit dingen wie "unendlich zu Rechnen, als wären es reelle Zahlen bereitet mir Bauchschmerzen- obwohl die Rechnung in der erweuterteb reellen Zahlengeraden durchaus so möglich ist.
Ich bevorzuge Orions Idee.

@Orion:

die Ungleichungskette des ln(x) ist klar, aber wie kommst du auf die Abschätzung mit K? (wie folgere ich das aus der Ungleichungskette?) die Idee ist mir klar:

Setze K=¥, dann gilt:

ln(x)/x<¥ für 0<x<1/(1+¥)

also

0<x<0 also folgt der Grenzwert -¥ für
x->0

Aber wie gesagt, wie forme ich die ln- Ungleichungskette geschickt so um, das diese Behauptung für K herauskommt?

Gruß N.
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 923
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 13:05:   Beitrag drucken

Bei unendlich mal unendlich brauchst Du Dir keine großen Gedanken zu machen, denn wenn zwei Folgen an und bn über alle Grenzen wachsen, so erst recht auch ihr Produkt.

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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 895
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 17:24:   Beitrag drucken

Niels,

(ln x)/x < 1 - 1/x < - K <=> 1/x > 1+K <=> x < 1/(1+K)
mfG Orion
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 924
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 18:00:   Beitrag drucken

Hab mal den zweiten Teil meines Postings oben rausgenommen, weil er völliger Quatsch ist.

Ein Wort aber noch zur Anwendung von L'Hospital: Er ist nur anwendbar, wenn Zähler und Nennerfunktion gegen denselben Wert konvergieren, was hier nicht der Fall ist.

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1134
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 19:10:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

das will ich auch hoffen:-) Dein "Beweis" fand ich wirklich etwas Suspekt....

Ist klar, das Hospital nur bei Bruchtermen sinn macht...scchließlich wird im Beweis von hospital der Mittelwertsatz verbraten....

Orions methode gefällt mir...

Übrigens noch eine Frage zu hospital:

wie sieht es mit folgenden Grenzwert aus?

lim((exp(1)-(1+x)^(1/x))/x)

für x-> unendlich mit hospital???

Gruß N.
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 925
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 20:50:   Beitrag drucken

Hi Nils,
bist Du Dir sicher, daß es x->¥ sein soll?

Dann gehts nämlich nicht mit L'Hospital, da
limx->¥(1+x)(1/x) = limx->¥exp((1/x)ln(1+x)) = e0 = 1 [Benutzt wurde dabei lim (ln(1+x)/x)=0 nach L'Hospital]}

Also haben Zähler- und Nennerfunktion einen unterschiedlichen Grenzwert. Der Grenzwert des gesamten Ausdrucks wäre demnach 0.

Meinst Du nicht eher x->0 ? Dann wären die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Die Frage ist nur, ob er einen weiterbringt, denn die Ableitung von (1+x)1/x ist nicht viel handlicher.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1135
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 21:01:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

du hast recht, x soll natürlich gegen Null streben, habe mich verguckt...

N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1136
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 10:59:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

dein ehemaliger Ansatz mit l`hospital funktioniert doch...ich weis nicht was du daran nicht mochtest, man muss halt nur dafür sorgen das Zähler und Nennerfunktion tatsächlich gegen 0 oder unendlich (bzw. -unendlich) laufen.

D.h. entweder betrachtet man hier

ln(x)/(1/x) oder (1/ln(x)/x

beides funktioniert und führ zum richtigen Ergebnis- obwohl der "Weg" zum Ziel bei der zweiten Variante etwas schwerer ist...

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1137
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 20:21:   Beitrag drucken

mitlerweile habe ich eingesehe, was Ingo meinte, ich habe mich mal schon wieder verrechnet...

also das mit hospital war völliger blödsinn von mir...

N.
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 926
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juli, 2004 - 10:55:   Beitrag drucken

*g kenne ich irgendwoher ;)

Mein Fehler war einfach, daß ich statt des Quotienten das Produkt munter abgeleitet habe und das ist (wie oben schon steht) natürlich völliger Schwachsinn, wie man schon am einfachen Beispiel f(x) = x = 1*x sehen kann.

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