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Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 13:46: | 
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Hallo,
mein Problem ist, zu entscheiden, ob der Ausdruck
sqrt(1+2*x^3*y+x*y^2)
für unendlich viele Paare von (x,y) (x,y positiv und rational; x ungleich 1) wieder rational ist. Habe bereits alles für mich Erdenkliche probiert, komme aber einfach nicht weiter.
So viele Beispiele, wie ich bereits gefunden habe, vermute ich, dass es unendlich viele Paare gibt.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Toxical |
Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 16:26: |
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hallo,
Problem hat sich erledigt. Es gibt unendlich viele :-)
Grüße |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2258
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 17:18: |
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Beweis würd mich interessieren
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 794
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 19:32: |
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sqrt(1+2*x^3*y+x*y^2)
x := a/b
y := c/d
mit a,b,c,d aus IN
daher
sqrt(1 + 2a^3/b^3*c/d + a/b*c^2/d^2) =
sqrt(1 + 2a^3c/(b^3d) + ac^2/(bd^2)) =
sqrt(b^3d^2/(b^3d^2) + 2a^3cd/(b^3d^2) + ab^2c^2/(b^3d^2)) =
sqrt((b^3d^2 + 2a^3cd + ab^2c^2)/(b^3d^2)) =
nun um nenner ein vollst. quadrat, daher
sqrt((b^4d^2 + 2a^3bcd + ab^3c^2)/(b^4d^2)) =
der nenner ist aus IN, daher
sqrt(b^4d^2 + 2a^3bcd + ab^3c^2)/(b^2d) =
a := m^2
b := n^2
mit m, n aus IN
daher
sqrt(n^8d^2 + 2m^6n^2cd + m^2n^6c^2)/(n^4d) =
für n^4d * mn^3c = m^6n^2cd ist die Wurzel ein vollst. quadrat, daher
n^4 * mn^3 = m^6n^2
das ganze ist mal von c und d unabhng.
n^5 = m^5
einzige Bedingung m = n muß erfüllt sein;
m = n => a = b => x = 1
da aber x = 1 lt. Voraussetzung nicht sein darf, gibt es nur endlich viele Lsg.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2259
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 21:48: |
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Schönen Dank, Mainzimann,
um wirklich mitzukommen, brauchte ich allerdings
waagrechte Bruchstriche
aber ich nehme an, so hast Du es auch erst auf Papier entwickelt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 795
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Juni, 2004 - 23:43: |
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Hallo Fritz,
ne ich habs direkt reingeklopft 
aber seltsamerweise ist das der Gegenbeweis zur Behauptung 
eine Lösung für x und y, welche den Erfordernissen entsprechen fällt mir auch keine ein 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2260
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 09:17: |
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na, "brute force" zeigt daß es sogar mehrere ganzzahlige Lösungen gibt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 901
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 19:46: |
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Ich habe den Beweis von Walter jetzt nur kurz überflogen, aber ich denke mal der Fehler liegt in der Annahme:
a := m^2
b := n^2
Damit sind natürlich längst nicht alle rationalen Zahlen a/b erfasst. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 796
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 00:32: |
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Hm,
du bringst mich in verlegenheit 
sqrt(b^4d^2 + 2a^3bcd + ab^3c^2)/(b^2d) =
angenommen ich mache die subst. mit
a := m^2
b := n^2
nicht,
dann muß auf jeden fall folgendes gelten damit das ein vollst. quadrat sein kann:
a^3bcd = b^2d * sqrt(ab)bc
a^3 = b^2 * sqrt(ab)
auch hier ist das ganze unabhngig von c und d
a^3 = b^2 * sqrt(ab) <-- ok, hier wurden durch die subst. möglichkeiten ausgeschaltet, a*b muß eine quadratzahl sein, was z.b. mit
a = 2
b = 8
der Fall ist, aber a und b selbst sind nicht quadratisch;
a^3 = b^2 * sqrt(ab)
also mal folgende subst.:
a := p^2 * n
b := q^2 * n
mit, p, q, n aus IN und in p^2 bzw. q^2 kann durchaus der Faktor n in einer geraden Vielfachheit stecken; daher gilt dann:
(p^2*n)^3 = (q^2*n)^2 * sqrt(p^2*n * q^2*n)
p^6n^3 = q^4n^2 * sqrt(p^2q^2n^2)
p^6n^3 = q^4n^2 * pqn
p^6n^3 = pq^5n^3
p^6 = pq^5
und das läßt ebenfalls nur den Schluß zu, daß
p = q gilt und somit auch a = b, was aber laut Voraussetzung nicht sein darf;
jetzt hab ich mal mein Mathematica angeworfen:
f[a_, b_, c_, d_] := Sqrt[b^4*d^2 + 2*a^3*b*c*d + a*b^3*c^2]
initialisiert eine fkt.
Table[ Table[ Table[ Table[ f[a, b, c, d], {a, 1, 10, 1} ], {b, 1, 10, 1}] , {c, 1, 10, 1}], {d, 1, 10, 1}]
listet einfach die Wurzelwerte auf
Table[ Table[ Table[ Table[ List[1000000*a + 10000*b + 100*c + d, (Floor[f[a, b, c, d]] == f[a, b, c, d]) && (a != b )], {a, 1, 10, 1} ], {b, 1, 10, 1}] , {c, 1, 10, 1}], {d, 1, 10, 1}]
listet einen Wert, um a,b,c,d zurückzuverfolgen und true, ob a != b und f[a,b,c,d] ganzzahlig ist;
f[8,9,10,10] liefert 1470, somit ist das ein Beispiel, welches den Anforderungen genügt:
x = 8/9 und y = 1
Gibt es nun wirklich unendlich viele rationale Paare x,y mit der die Wurzel wieder rational ist?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Toxical (Toxical)
Mitglied
Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 18:53: |
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Hallo,
danke für die rege Beteiligung. Mein Beweis sieht folgendermaßen aus:
In Erwartung eurer Meinungen dazu,
Toxical |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 797
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:57: |
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Hm,
n sollte aus IQ sein, wenn die Wurzel rational sein soll;
auch Dein p muß aus IQ sein;
1 + 2x^3 y + xy^2 =
1 + 2((1-p)/2)^3(1+p) + (1-p)/2 * (1+p)^2 =
1 + (1-2p+p^2)(1-p^2)/4 + (1-p^2)(1+p)/2 =
1 + (1-2p+p^2-p^2+2p^3-p^4)/4 + (1-p^2+p-p^3)/2 =
1 + 1/4 - p/2 + p^3/2 - p^4/4 + 1/2 + p/2 - p^2/2 - p^3/2 =
1 + 1/4 - p^4/4 + 1/2 - p^2/2 = 7/4 - p^4/4 - p^2/2
Du ne, da haste wo an Rechenfehler eingebastelt, stimmt nicht
die Idee wäre aber gut gewesen
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1424
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:15: |
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Hi Walter
Da muss ich dir leider widersprechen
Bei dir muss irgendwo ein Rechenfehler sein. Die Gleichung am Ende muss ja auf jeden Fall stimmen, weil man ja von Anfang an
1+2x3y+xy2 = n2
hatte. Und es gilt n=(1+p2)/2.
Setzt man in die ganzen Formeln irgendein beliebiges rationales p ein, so folgt, dass n, x und y auch alle rational sind und nach dem Beweis auch, dass sqrt(1+2x3y+xy2) rational ist.
MfG
Christian
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2263
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:37: |
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@Toxical:
also bis x = (n-1)/y komm ich noch mit
aber wie kommst Du auf y = 1 + sqrt(2n-1) ???
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1425
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:46: |
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Hallo Friedrich
Setz mal x=(n-1)/y in die Gleichung
2x2+y=n+1 ein.
Auflösen nach y ergibt u.a.
y=1+sqrt(2n-1)
MfG
Christian
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 798
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:51: |
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Tja man soll nicht 1+p und p-1 schreiben , des verwirrt;
Also nochmal:
1 + 2((p-1)/2)^3(p+1) + (p-1)/2*(p+1)^2 =
1 + (p^2-1)(p^2-2p+1)/4 + (p^2-1)(p+1)/2 =
1 + (p^4-2p^3+p^2-p^2+2p-1)/4 + (p^3-p+p^2-1)/2 =
1 + p^4/4 - p^3/2 + p/2 - 1/4 + p^3/2 + p^2/2 - p/2 - 1/2 = p^4/4 + 2p^2/4 + 1/4
Jetzt passts, sehr fein
(es gibt kein p für x = 8/9, y = 1  )
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Toxical (Toxical)
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Benutzername: Toxical
Nummer des Beitrags: 30
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 22:42: |
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Da freue ich mich ja, dass die Sache geklärt ist:-)
und das es sogar mehr als unendlich viele Lösungen zu geben scheint:D
gruss |
|
formeln
