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Lockere Folge 401 : Reihen 27

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4118
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 10:22:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Als Aufgabe LF 401 erscheint ein Analogon zu Aufgabe LF 400:
Man berechne die Summe der unendlichen Reihe
T: = sum [artanh {1 / F (2n +2)}], n = 1 ad infinitum.

MfG
H.R.Moser,megamath

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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1420
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 12:27:   Beitrag drucken

Hi megamath

Wir können hier ähnlich vorgehen wie in der letzten Aufgabe.
Für den artanh gilt die Beziehung:
artanh(x)-artanh(y)=artanh((y-x)/(xy-1))

Außerdem haben wir
(F(2n+2))2=F(2n+1)F(2n+3)-1 und
F(2n+3)-F(2n+1)=F(2n+2)

Damit ergibt sich:
artanh[1/F(2n+2)]=artanh[(F(2n+3)-F(2n+1))/(F(2n+1)F(2n+3)-1)]
=artanh(F(2n+1))-artanh(F(2n+3))

Das ist wieder eine Teleskopsumme, womit sich dann schließlich unser Reihenwert ergibt zu
T=ln(3)/2

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1402
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 12:53:   Beitrag drucken

Hi Christian,

ich hab auch schon länger gerechnet, mir fehlte aber dieses schöne "Areatangenshyperbolicus- Additionstheorem" [nettes Wort ]! Hast du es aus einer Formelsammlung?

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1421
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 13:02:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich hatte mir überlegt, dass es ja ganz nützlich sein könnte bei dieser Aufgabe ein ähnliches Theorem für den artanh zu haben wie bei der letzten für den tangens.
Außerdem waren mir die Beziehungen mit den Fibonaccizahlen, die ich oben benutzt habe, bekannt. Damit konnte ich umformen wie bei der letzten Aufgabe.
Und dann habe ich einfach mal versucht artanh((x-y)/(xy-1)) ein wenig umzuformen und zwar mit der identität:
artanh(x)=1/2*ln((1+x)/(1-x))
Da kam dann glücklicherweise das gewünschte Resultat raus :-)

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4119
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 13:39:   Beitrag drucken

Hi Christian



Das ist gut so! Besten Dank!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4120
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 14:07:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Es ist nicht schwierig, das Subtraktionstheorem
der Areatangenshyperbolicus-Funktion herzuleiten;
entweder, indem man den Begriff der Umkehrfunktion
heranzieht oder indem man Imaginaerzahlen
gebraucht und dadurch auf den Arcustangens kommt.
Es schadet gewiss nichts, das zu tun.

Die Formel für das Additionstheorem der
Areacosinushyperbolicus-Funktion lautet:
arcosh x + arcosh y = arcosh [xy + sqrt {(x^2-1)(y^2-1)}]

MfG
M.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4121
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 14:13:   Beitrag drucken

Hi Christian

Bravo!

MfG
H.R.Moser,megamath

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