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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4118 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 10:22: |
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Hi allerseits Als Aufgabe LF 401 erscheint ein Analogon zu Aufgabe LF 400: Man berechne die Summe der unendlichen Reihe T: = sum [artanh {1 / F (2n +2)}], n = 1 ad infinitum. MfG H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1420 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 12:27: |
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Hi megamath Wir können hier ähnlich vorgehen wie in der letzten Aufgabe. Für den artanh gilt die Beziehung: artanh(x)-artanh(y)=artanh((y-x)/(xy-1)) Außerdem haben wir (F(2n+2))2=F(2n+1)F(2n+3)-1 und F(2n+3)-F(2n+1)=F(2n+2) Damit ergibt sich: artanh[1/F(2n+2)]=artanh[(F(2n+3)-F(2n+1))/(F(2n+1)F(2n+3)-1)] =artanh(F(2n+1))-artanh(F(2n+3)) Das ist wieder eine Teleskopsumme, womit sich dann schließlich unser Reihenwert ergibt zu T=ln(3)/2 MfG Christian
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1402 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 12:53: |
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Hi Christian, ich hab auch schon länger gerechnet, mir fehlte aber dieses schöne "Areatangenshyperbolicus- Additionstheorem" [nettes Wort ]! Hast du es aus einer Formelsammlung? mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1421 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 13:02: |
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Hi Ferdi Ich hatte mir überlegt, dass es ja ganz nützlich sein könnte bei dieser Aufgabe ein ähnliches Theorem für den artanh zu haben wie bei der letzten für den tangens. Außerdem waren mir die Beziehungen mit den Fibonaccizahlen, die ich oben benutzt habe, bekannt. Damit konnte ich umformen wie bei der letzten Aufgabe. Und dann habe ich einfach mal versucht artanh((x-y)/(xy-1)) ein wenig umzuformen und zwar mit der identität: artanh(x)=1/2*ln((1+x)/(1-x)) Da kam dann glücklicherweise das gewünschte Resultat raus MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4119 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 13:39: |
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Hi Christian Das ist gut so! Besten Dank! MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4120 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 14:07: |
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Hi Ferdi Es ist nicht schwierig, das Subtraktionstheorem der Areatangenshyperbolicus-Funktion herzuleiten; entweder, indem man den Begriff der Umkehrfunktion heranzieht oder indem man Imaginaerzahlen gebraucht und dadurch auf den Arcustangens kommt. Es schadet gewiss nichts, das zu tun. Die Formel für das Additionstheorem der Areacosinushyperbolicus-Funktion lautet: arcosh x + arcosh y = arcosh [xy + sqrt {(x^2-1)(y^2-1)}] MfG M.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4121 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 14:13: |
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Hi Christian Bravo! MfG H.R.Moser,megamath
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