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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4114
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 20:43: | 
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Hi allerseits
 
Mit der Aufgabe LF 400 erscheint eine
kleine aber feine Aufgabe zur Feier des Tages.
Sie ist wiederum den Fibonaccizahlen
F(0) = 0, F(1) = 1. F(2) = 1, F(3) = 2, F (4) = 3, F(5) = 5...etc.
gewidmet.
In medias res:
Man berechne die Summe der unendlichen Reihe
W: = sum [arc tan {1 / F (2n +1) }], n = 1 ad infinitum
Hinweis zur Loesung:
Man kann die Formel
arc tan x - arc tan y = arc tan [(x - y ) / (1 + x y ) ]
anwenden.
Anmerkung:
Die Aufgabe wurde erstmals 1973 gestellt und geloest von
J. R. Goggins; C. B. Gordon Formula for
Pi / 4 June 1973 Note(M)
MfG
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1419
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 01:26: |
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Hallo megamath
Hier noch meine Lösung zu später Stunde. Ich hoffe mal es sind keine Fehler drin
Zunächst einmal gilt allgemein
[F(2n+1)]2=1+F(2n+2)*F(2n)
(Beweis per Induktion)
Außerdem ist F(2n+1)=F(2n+2)-F(2n)
Damit ergibt sich
arctan(1/F(2n+1))=arctan(F(2n+1)/[1+F(2n+2)*F(2n)])
=arctan([F(2n+2)-F(2n)]/[1+F(2n+2)*F(2n)])
=arctan(F(2n+2))-arctan(F(2n))
Das ist mal wieder eine Teleskopsumme.
Es gilt offenbar lim(n->¥)F(2n+2)=¥. Damit
lim(n->¥) arctan(F(2n+2))=p/2
Daraus folgt dann
W=p/2-p/4=p/4
MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4117
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 08:43: |
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Hi Christian
Das ist alles in bester Ordnung!
Anerkennung und Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4122
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 14:39: |
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Hi allerseits
Viel Spass bietet eine kleine Verallgemeinerung der Reihe
aus der Aufgabe LF 400:
Ergebnis:
arc tan [1/F(2 k)] = sum [arc tan {1/F(2n+1)}, n = k ad infinitum.
MfG
H.R.Moiser,megamath
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