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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4089
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 08:45: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 392
Gegeben ist eine natuerliche Zahl n > 1.
a)
Man beweise, dass die Kurven
c1 : x - y ^ n + 1 = 0
c2 : y = 1 + (1/n) * x - (n - 1) / (2 n ^ 2) * x ^ 2
sich im Punkt P(0/1) beruehren und dass ihre Kruemmungsradien
daselbst uebereinstimmen.
b)
F = F(n) sei der absolute Betrag des in der Teilaufgabe a)
berechneten Kruemmungsradius.
Man ersetze n durch die kontinuierliche Variable x > = 2
Es entsteht F als Funktion von x.
Für welchen Wert x* von x wird F minimal?
In welcher Beziehung steht x* zu bekannten Werten bei der
Teilung nach dem Goldenen Schnitt?
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1386
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 11:28: |
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Hi megamath,
zunächst a)
c1 : geht durch P , c2 : geht durch P
c1': 1 + n*y^(n-1)*y' = 0
==> c1' = 1/n an der Stelle P
c2' = 1/n - (n-1)/(n^2)x
==> c2' = 1/n an der Stelle P
Daraus folgt: c1(P) = c2(P) und c1'(P) = c2'(P)
Die beiden Kurven berühren sich!
Der Krümmungsradius ergibt sich bei beiden Kurven als:
F(n) = (n^2 + 1)^(3/2)/(n-n^2)
Bei c2 geht das direkt mit c2'(P)= 1/n , c2''(P) = (1-n)/n^2
Bei c1 kann man entweder weiter implizit differenzieren oder man stellt die Formal nach y um! [ y = (1+x)^(1/n) ]
Man könnte auch sagen, das dies sofort ersichtlich ist, da c2 die Taylorentwicklung von c1 um den Nullpunkt bis zur zweiten Potenz ist!
b)
Hier bin ich mir nicht sicher, wegen des Betrages! Ist der gesuchte Wert:
x* = 1 + phi [ ~ 2,618034 ]
{ phi = Goldener Schnitt = (1 + sqrt(5))/2 }
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4090
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 12:53: |
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Hi Ferdi
Deine Ergebnisse sind alle richtig,bravo!
Es ist mir nicht ganz gelungen, die Taylorreihe zu cachieren!
MfG
H.R.Moser,megamath
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