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Lockere Folge 385 : Reihen 22

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4069
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Mai, 2004 - 15:32:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe 385, Reihen 22

Gegeben ist die Funktion f(x) = x / ln [1 / (1-x) ]
für x = 0 gelte f(0) = 1 (Unstetigkeit behoben!).
Als Näherung dieser Funktion in einer Umgebung
von x = 0 nehme man die kubische Funktion
g(x) = a x^3 + b x + c, wobei g(x) mit der Summe der
ersten Gliedern der Taylorentwicklung mit Zentrum x = 0
übereinstimmt.
Mit Hilfe von g(x) ermittle man eine Näherung N1
für das Integral J1 = int[f(x)] in den Grenzen [-1,0]
und eine Nährung N2 für das Integral
J2 = int[f(x)] in den Grenzen [0,1].

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1374
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. Mai, 2004 - 22:06:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe die Aufgabe irgendwie nicht ganz verstanden daher zwei Lösungen!

Zunächst gilt:

x / ln( 1 / (1-x) ) = x / - (ln(1-x))
==> 1 / ( 1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4...)

Nun wähle ich deinen Ansatz:

ax^3 + bx + c = 1 / ( 1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4 )

(ax^3 + bx + c)*(1/(1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4..)) = 1

Es reicht bei der Potenzreigenentwicklung bis zur dritten Potenz zu gehen, da auch die zu bestimmende Funktion eine der dritten Potenz ist. Nach dem ausmultiplzieren liefertvder Koeffizientenvergleich:

c = 1 , b = -(1/2) , a = -(1/12)

Daraus folgt durch leichte Integration:
N1 = 35/48 [ ~ 0,72917 ]
N2 = 61/48 [ ~ 1,27083 ]

Für das Taylorpolynom wähle ich den Ansatz:

(ax^3 + bx^2 + cx + d) = (1/(1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4..))

Da f(0) = 1 folgt d=1 und daraus:
c = -(1/2) , b = -(1/12) , a = -(1/24)

Hier liefert die Integration:
N1 = 205 / 288 [ ~ 0,71181]
N2 = 355 / 288 [ ~ 1,23264]

Ich wusste nicht genau welches Polynom jetzt gefragt war!

mfg

(Beitrag nachträglich am 28., Mai. 2004 von tl198 editiert)
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4070
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 29. Mai, 2004 - 08:02:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Deine Berechnungen sind alle in Ordnung.
Bei der Aufgabenstellung ist eine Unterlassung passiert.
Das Polynom dritten Grades muss natürlich heissen:
g(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d, wobei g(x) mit der Summe der
ersten Glieder der Taylorentwicklung mit Zentrum x = 0
übereinstimmt.
Als Resultat erscheinen die Werte
a = -1/24; b= - 1/12 ; c = - ½ ; d = 1, in Übereinstimmung mit
Deinen Ergebnissen.

Näherungswert N1 für das Integral J1[-1,0]:
N1 =355/288 = 1,232638889..
Mit Maple .
J1 = 1,229274..
relativer Fehler ~ 0,27%

Näherungswert N2 für das Integral J2[0,1]:
N2 = 205/288 =0,7118055556
Mit Maple .
J2 = ln 2 (!) = 0,6931471806
relativer Fehler ~ 2,69%

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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