Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4069 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. Mai, 2004 - 15:32: |
|
Hi allerseits Aufgabe 385, Reihen 22 Gegeben ist die Funktion f(x) = x / ln [1 / (1-x) ] für x = 0 gelte f(0) = 1 (Unstetigkeit behoben!). Als Näherung dieser Funktion in einer Umgebung von x = 0 nehme man die kubische Funktion g(x) = a x^3 + b x + c, wobei g(x) mit der Summe der ersten Gliedern der Taylorentwicklung mit Zentrum x = 0 übereinstimmt. Mit Hilfe von g(x) ermittle man eine Näherung N1 für das Integral J1 = int[f(x)] in den Grenzen [-1,0] und eine Nährung N2 für das Integral J2 = int[f(x)] in den Grenzen [0,1]. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1374 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. Mai, 2004 - 22:06: |
|
Hi megamath, ich habe die Aufgabe irgendwie nicht ganz verstanden daher zwei Lösungen! Zunächst gilt: x / ln( 1 / (1-x) ) = x / - (ln(1-x)) ==> 1 / ( 1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4...) Nun wähle ich deinen Ansatz: ax^3 + bx + c = 1 / ( 1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4 ) (ax^3 + bx + c)*(1/(1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4..)) = 1 Es reicht bei der Potenzreigenentwicklung bis zur dritten Potenz zu gehen, da auch die zu bestimmende Funktion eine der dritten Potenz ist. Nach dem ausmultiplzieren liefertvder Koeffizientenvergleich: c = 1 , b = -(1/2) , a = -(1/12) Daraus folgt durch leichte Integration: N1 = 35/48 [ ~ 0,72917 ] N2 = 61/48 [ ~ 1,27083 ] Für das Taylorpolynom wähle ich den Ansatz: (ax^3 + bx^2 + cx + d) = (1/(1 + x/2 + x^2/3 + x^3/4..)) Da f(0) = 1 folgt d=1 und daraus: c = -(1/2) , b = -(1/12) , a = -(1/24) Hier liefert die Integration: N1 = 205 / 288 [ ~ 0,71181] N2 = 355 / 288 [ ~ 1,23264] Ich wusste nicht genau welches Polynom jetzt gefragt war! mfg (Beitrag nachträglich am 28., Mai. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4070 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. Mai, 2004 - 08:02: |
|
Hi Ferdi Deine Berechnungen sind alle in Ordnung. Bei der Aufgabenstellung ist eine Unterlassung passiert. Das Polynom dritten Grades muss natürlich heissen: g(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d, wobei g(x) mit der Summe der ersten Glieder der Taylorentwicklung mit Zentrum x = 0 übereinstimmt. Als Resultat erscheinen die Werte a = -1/24; b= - 1/12 ; c = - ½ ; d = 1, in Übereinstimmung mit Deinen Ergebnissen. Näherungswert N1 für das Integral J1[-1,0]: N1 =355/288 = 1,232638889.. Mit Maple . J1 = 1,229274.. relativer Fehler ~ 0,27% Näherungswert N2 für das Integral J2[0,1]: N2 = 205/288 =0,7118055556 Mit Maple . J2 = ln 2 (!) = 0,6931471806 relativer Fehler ~ 2,69% Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
|