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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4061
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 15:29: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 381, Reihen 18.
Beweise:
sum [2 / (k^2+x^2)] = Pi /x * coth (Pi * x) – 1/ x^2
Der Summationsindex k läuft von 1 ad infinitum.
Nota bene:
Alle früher hergeleiteten Reihenergebnisse
dürfen benützt werden;
die Formel muss daher nicht ab ovo begründet werden.
Carpe diem!
Man schließe aus der Summe dieser unendlichen Reihe
und dem Ergebnis der Aufgabe LF 380 auf das
bekannte Resultat:
Zeta(2) = (Pi)^2 / 6; heureka!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1371
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 16:45: |
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Hi megamath,
sei x = it ,dann gilt:
i^2 = -1
coth(it) = i * cot(t)
In unserer Reihe bekommen wir:
sum[ 2/(n^2 - t^2) ] = 1/t^2 - PI/t * cot(PI*t)
n = [1..inf]
Multiplizieren wir nun mit t und formen die Summe etwas um:
-t*sum[ 2/(t^2 - n^2) ] = 1/t - PI*cot(PI*t)
n=[1..inf]
Also:
PI * cot(PI*t) = 1/t + t * sum[ 2/(t^2 - n^2) ]
[n=1..inf]
Das stimmt, das wusst schon Euler!! Oder man betrachte: LF 377, Reihen 17!
Dort wurde die Rechte Seite noch mehr umgeformt:
1/t + sum[ 2t/(t^2-n^2) ] [n=1..inf]
1/t + sum[ 1/(t+n) + 1/(t-n)] [n=1..inf]
sum [ 1/(t+n) ] [n=-inf..inf]
Setzt man nun in der bewiesenen Gleichung:
sum [2 / (k^2+x^2)] = Pi /x * coth (Pi * x) – 1/ x^2
k=[1..inf]
x = 0 und benutzt den Grenzwert aus LF380:
lim[ PI/h * coth(PI * h) - 1/h^2 ] h->0
==> (1/3)*PI^2
So erhalten wir:
2* sum[ 1/k^2 ] [k=1..inf] = 1/3*PI^2
sum[ 1/k^2 ] [k=1..inf] = (1/6)*PI^2 = Zeta(2)
Alles passt! Saubere Arbeit !
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4062
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 11:01: |
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Hi Ferdi
So muss es sein!
Besten Dank für Deinen Beitrag!
Ich habe die Aufgabe analog gelöst.
Ausgangspunkt:
Die Cotangens-Partialbruch-Entwicklung in der Form:
Pi*cot (Pi x) = 1/x – sum [2 x / (k^2 – x^2)];
k= 1 ad infinitum.
Daraus entsteht mit denselben Werten für k:
sum [2 / (k^2 – x^2)] = 1/x^2 – Pi /x * cot (Pi x).
Die Substitution x = i z via imaginärer Zahlen
führt direkt zum erwünschten Ergebnis.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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