| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4046
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 07:13: | 
|
Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 378 erscheint meine Lieblingsreihe;
sie zählt auch wegen des Ergebnisses zu meinen Favoriten.
Sie ist allerdings kaum fassbar, wenn man das Schlupfloch
nicht kennt.
Die Aufgabe lautet.
Für welche Werte von m ist die unendliche Reihe
sum [{sin(1/n) }^ m * {tan(1/n)}^ m^2 ],
n = 1 ad infinitum, konvergent?
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 877
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 15:59: |
|
Megamath,
Es wird über den Daumen gepeilt: Sei
[sin(1/n)]m*[tan(1/n)]m2 =: f(n).
Nun gilt für n®¥ :
sin(1/n) = O(1/n) , tan(1/n) = O(1/n) ,
also
f(n) = O((1/n)m2+m).
Die fragliche Reihe konvergiert also g.d.w.
m2 + m > 2 <=> (m+2)(m-1)>0
<=> m < -2 oder m > 1.
(Beitrag nachträglich am 22., Mai. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4049
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 16:21: |
|
Hi Orion
Diese Methode führt direkt zum Ziel; besten Dank
für Deine Lösung.
Allerdings wird noch ein kleines
Differenzenbereinigungsverfahren nötig.
Ich habe die Ungleichung
m + m^2 > 1 erhalten.
Damit tauchen die Terme aus der Praxis des
goldenen Schnitts auf!
Konvergenz findet statt für
m > ½{sqrt(5) - 1} oder m < - ½ {1+sqrt(5)}
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1367
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 18:13: |
|
Hi Orion,
eine kurze Frage:
Soll "O(1/n)" das Landau Symbol sein??
mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 878
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 18:44: |
|
Megamath,
ja klar : m(m+1) > 1 war auch im Hinterkopf !
Ferdi,
O = Landau - Symbol.
mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4055
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 20:08: |
|
Hi allerseits
Zur Lösung dieser Aufgaben kann vom folgenden Satz
für Reihen mit positiven Gliedern Gebrauch gemacht werden:
Sind die allgemeinen Glieder der Reihen
R1 := sum ak und R2 := sum bk äquivalent,
d.h. so beschaffen, dass die beiden Zahlenfolgen
ak/bk und bk/ak für k gegen unendlich beide gegen 1
konvergieren, so konvergieren bzw. divergieren die beiden
Reihen gleichzeitig.
Im vorliegenden Fall dient als Reihe R1 die gegebene Reihe,
mit ak = (sin(1/k))^m*(tan(1/k))^(m^2),
als Reihe R2 die Reihe R2:=sum [1 /{k^(m+m^2) }]
mit bk = (1//k)^m * (1/k)^(m^2).
Setzen wir h = 1/k, so entsteht der Quotient
ak/bk = {sin h / h} * (tan h / h ) ^ (m^2).
Für k gegen unendlich strebt h gegen null, und die Quotienten
streben gegen eins, wzbw.
Die erwähnte Äquivalenz steht in engem Zusammenhang mit dem
Landau-Symbol; damit hat sich dieser Kreis geschlossen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
|
