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Stimmt mein Lösungsweg?

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Cornelius (Cornelius)
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Mitglied
Benutzername: Cornelius

Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 00:23:   Beitrag drucken

Hi!

Ich hab hier eine Funktion f(x,y)=Sin(xy)/(x^2+y^2) und soll untersuchen, ob diese von R2 ohne {(0,0)T} nach R für (x,y)->(0,0) konvergiert.

Ich hab einfach gesagt, dass f stetig ist für (x,y) ungleich (0,0) und dann für xn->0 und yn->0 folgendes aufgeschrieben:

1. xn=0, yn ungleich 0: f(0,yn)=0->0
2. xn ungleich 0, yn=0: f(xn,0)=0->0

Somit existiert der Grenzwert f(x,y)->(0,0). Dieser ist gleich 0. Somit konvergiert die Funktion.

Ist der Lösungsweg so ok oder hab ich was vergessen?

Gruß
Cornelius
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 878
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 01:02:   Beitrag drucken

Nein, das reicht nicht. Konvergent bedeutet, dass für JEDE beliebige Teilfolge (x,y)->(0,0) derselbe Grenzwert existiert. Du hast aber nur solche Folgen betrachtet, deren x bzw. y Werte gegen 0 konvergieren.

Nutze deshalb die Beziehung sin(xy)=xy für xy nahe 0. Es gilt demnach im Bereich von (0,0):
f(x,y)=xy/(x²+y²)
Folglich konvergiert die Funktion nicht. (klar wieso?)
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Cornelius (Cornelius)
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Mitglied
Benutzername: Cornelius

Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 10:30:   Beitrag drucken

Hi!

Das mit dem Sin(xy)=xy verstehe ich nicht ganz. Hat das einfach damit was zu tun, dass die Werte in guter Näherung übereinstimmen? Warum die Funktion dann nicht konvergiert, ist mir klar, weil ja immer 1/y bzw 1/x stehen bleibt.
Was mache ich dann wenn ich Sin(x^2+y^2)*Ln(x^2+y^2) habe? oder x^2/(x^2+|y|)?

Gruß
Cornelius
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Cornelius (Cornelius)
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Mitglied
Benutzername: Cornelius

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 10:36:   Beitrag drucken

Gibt es irgendeinen Satz, der das mit dem sin(xy)=xy zulässt/erklärt?
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 879
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 14:34:   Beitrag drucken

Das hat einfach nur mit der Taylorentwicklung zu tun bzw. ist eine Linearisierung der Funktion im Punkt (0,0).

sin(x) = x - (x³/3!) + (x5/5!) - ...

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