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Lockere Folge 285 : Fusspunktkurve de...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3763
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 29. März, 2004 - 17:03:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 285

Gegeben ist die Kurve c durch die Gleichung
in Polarkoordinaten:
r^2 = 4 (cos(phi)) ^ 2 + (sin(phi)) ^ 2

Man beweise, dass c die Fusspunktskurve der Ellipse
x^2 + 4 y^2 = 4 in Bezug auf den Nullpunkt O darstellt.

Man leite eine Gleichung von c in rechtwinkligen Koordinaten
her und weise nach, dass der Nullpunkt O ein isolierter Punkt
der Kurve ist.
Wie könnte diese Tatsache geometrisch erklärt werden?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1231
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 16:10:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich bin schon etwas weiter als gestern:

Die Lotfusspunkte haben als Parameterdarstellung:

x = 4a / (a^2 + 16b^2)
y = 16b / (a^2 + 16b^2)

Hierzu habe ich in einem Punkt P (a/b) der Ellipse die Tangente gelegt und dann von O auf die Tangenten die Normale gefällt.

Die Fusspunktkurve sieht aus wie eine Cassinische Kurve, mir fehlt aber noch der Beweis, d.h. ich habe es noch nicht geschafft von der Parametersdarstellung zur Polarkoordinaten dartsellung zu kommen.

Kannst du vielleicht einen Tipp geben??

mfg
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3764
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 30. März, 2004 - 16:47:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Bemerkungen zu Deinem bisherigen Ergebnis:

es ist formal in Ordnung, aber als Parameterdarstellung
der Fußpunktkurve ein TORSO!
Wenn, wie in unserem Fall, zwei Parameter vorliegen,
sind drei, nicht bloß zwei Gleichungen anzuschreiben.
Auch ist die Wahl der Bezeichnung der Parameter
mit a und b nicht zu empfehlen, da damit die Halbachsen
der Ellipse gemeint sind.

Mit u und v als Parameter
(Rolle: Koordinaten des Berührungspunktes der
Ellipsentangente) kommt:
x= 4 u / N
y = 16 v / N
mit N = u^2 + 16 v^2 zur Abkürzung.
Als dritte Gleichung dient die Ellipsengleichung
u^2 + 4 v^2 = 4.

Eliminiere aus den drei Gleichungen u und v,
und Du bist am Ziel.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3765
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 08:39:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die Herleitung ist doch etwas anspruchsvoller, als ich vermutet habe.
Es folgt die abenteuerliche Rechung in zwei Teilen.
Zunächst beschäftigen wir uns mit dem Term N.
Es gilt N = u^2 + 16 v^2.
Für u und v setzen wir die Werte aus meinem letzten Statement ein:
u = N x / 4 ; v = N y / 16
Es kommt, durch Einsetzen in N = u^2 + 16 v^2 und Wegheben
eines Faktors N:
N * (x^2 + y^2) = 16 oder mit r^2 = x^2 + y^2
N = 16 / r^2
°°°°°°°°°°°°

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1232
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 09:35:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe auch bemerkt das diese Aufgabe recht anspruchsvoll ist. Tja, mit meiner Bezeichnung, das habe ich schon selber gemerkt!

Trotzdem eine gute Nachricht: Heute Nacht um 24:00 Uhr endet mein Wehrdienst für die Bundesrepublik! Dann geht es in großen Schritten aufs Studium im Oktober los! Naja, sind ja noch 6 Monate...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3766
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 10:50:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 285.

Fortsetzung der Lösung:
Wir setzen
u = N x / 4 ; v = N y / 16 mit N = 16 / r^2 in die Ellipsengleichung
u^2 + 4 v^2 = 4. ein; man beachte: r^2 = x^2 + y^2.
Nach leichter Rechnung entsteht :
4 x^2 + y^2 = r ^ 4, also
(x^2 + y^2) ^ 2 = 4 x^2 + y^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
als Gleichung der Fußpunktkurve der Ellipse ,
welche sich als eine algebraische Kurve vierter Ordnung entpuppt.
Ersetzen wir in der obigen Gleichung x durch r cos(phi) und
y durch r sin(phi), so entsteht die Ausgangsgleichung
in Polarkoordinaten.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megaamth

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3767
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. März, 2004 - 13:51:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Ergänzungen zur Aufgabe LF 285.

Die Fußpunktkurve der Ellipse
b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 bezüglich des Nullpunktes O,
d.h. die algebraische Kurve vierter Ordnung
(x^2 + y^2)^2 = a^2 * x^2 + b^2 * y ^2
hat im Punkt O einen Doppelpunkt als Einsiedler.
Wie ist das geometrisch zu interpretieren?

Wir ermitteln die imaginären Asymptoten der Ellipse,
welche beide durch den Nullpunkt gehen
und die Steigungen m1 = b/a i und m2 = - b/a i haben,
wie man mit dem üblichen Verfahren zur Ermittlung der
Asymptoten einer algebraischen Kurve leicht feststellt.

Die Gleichungen dieser Asymptoten lauten demnach:

as1: y = b i / a x,
as1: y = - b i / a x

die zugehörigen Normalen durch O sind:

n1: y = [- a / (b i)] x = a i / b x
n2: y = [ a / (b i)] x = - a i / b x

Diese imaginären Geraden as1,n1 und a2,n2
schneiden sich paarweise im reellen Punkt O,
sodass O zu einem Doppelpunkt der Fußpunktkurve wird.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Phili
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 17:42:   Beitrag drucken

hey, kann mir einer vielleicht mal so ganz unmathematisch erklären wozu fußpunktkurven gut sind? also was sie aussagen... :-) thx
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Tl198 (Tl198)
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Nummer des Beitrags: 1739
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Februar, 2005 - 21:11:   Beitrag drucken

Hi,

schau mal hier, da gibts ne kurze Erklärung:

http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/357307.html

Ansonsten auch ganz hilfreich "googlen"! Oder die übrigen Beiträge im Forum durchforsten!

mfg
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Phili
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 28. Februar, 2005 - 17:42:   Beitrag drucken

hey,
ja mein problem is, dass ich kein mathe-student oda so bin, sondern nur nen armer schüler, der ne art referat über fußpunktkurven halten soll (warum auch immer...). und jetzt bin ich schon seit tagen auf der suche nach informationen, die auch für ungebildete leute wie mich was sagen ;)
also halt so das generelle verständnis und ne erklärung für doofe wie man z.b. die fußpunkte für eine normalparabel ausrechnet...
bei google hab ich auch schon gesucht, nur leider habe ich keine wirklich hilfreichen / verständlichen informationen gefunden...
wenn jemand nen link kennt, der mir vielleicht helfen könnte oda jemand zufällig grad nichts zu tun hat ausser nem verzweifelten schüler zu helfen ;), dann wär ich sehr erfreut über links oda sogar ne eigene erklärung :-)
in hoffnung auf ein paar nette mathe-wesen, die dazu noch hilfsbereit und hilfsfähig sind...
grüße Phili :-)
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 979
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 01. März, 2005 - 09:01:   Beitrag drucken

phili,

Worum geht es ? Stelle Dir eine Kurve C und darauf einen variablen Punkt P vor. Ferner sei noch ein
fester Punkt A (der sogenannte Pol) gegeben. Fälle
nun das Lot n von A aus auf die Kurventangente t in P.
Der Fusspunkt (d.h. der Schnittpunkt von n mit t) sei Q.
Wandert P längs C, so beschreibt Q eine Kurve K, und
das ist die Fusspunktkurve (engl.: Pedal Curve) von C
bezüglich A.

Jetzt rechnen wir das mal am Beispiel der guten alten
Normalparabel

C : y = x2

durch, und zwar mit A = O = (0,0) (Scheitel).

P = (u,u2) , dabei ist u ein Parameter.

Die Tangentensteigung in P ist bekanntlich = 2u,
die Gleichung der Tangente lautet also

t : y = u2 + 2u(x-u) <=>

(1) 2ux - y = u2

Die Steigung der Normalen n ist = - 1/2u, die Normale
durch A = O hat also die Gleichung

y = - x/2u <=>

(2) x + 2uy = 0

Die Gleichungen (1),(2) stellen ein lineares Gleichungssystem für x,y dar. Rechne nach, dass

x = 2u3/(1+4u2 , y = - u2/(1+4u2)

Das ist eine Parameterdarstellung der gesuchten Fusspunktkurve K. Du könntest auch (2) nach u
auflösen und u = - x/2y in (1) einsetzen. Nach
Vereinfachung kommt eine Gleichung 3. Grades
in x,y heraus . K ist übrigens eine sog. Cissoide.

Vorschlag : Rechne nach obigem Muster K für

C : y2 = 4x , A = (1,0)

aus.
mfG Orion
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Phili
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 18:40:   Beitrag drucken

hey, bis zu dem teil mit
t: y = u² + 2u(x-u)
komme ich noch mit, allerdings hätte ich das als
t: y = 2ux - u²
geschrieben... da ist doch eigenltich kein unterschied oder?
auf jeden fall komme ich danach nicht mehr mit...
warum teilst du das in (1) und (2) auf? und was machst du bei den jeweiligen? sorry, aber bin jemand, der sich mehr durch mathe durchkämpft :-)
danke schonma für die erste hilfe... sehr freundlich
grüße Phili
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 980
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. März, 2005 - 19:12:   Beitrag drucken

Phili,

Es ist in der Mathematik üblich, dass man Gleichungen
numeriert, um sich im Text darauf beziehen zu können,
daher (1), (2).
(1) ist also die Gleichung der Tangente t, (2) ist die
Gleichung des Lotes (der Normalen) n. Wie wollen
deren Schnittpunkt Q = (x,y) ermitteln, also lösen wir
das Gleichungssystem (1),(2) nach den Variablen x,y
auf.

Wenn ich die Gleichung von t zuerst in der Form
y = u2 + 2u(x-u) schrieb, dann deshalb, weil ich
an die bekannte "Punkt-Steigungsform" der Geradengleichung dachte. Natürlich ist das mit
y= 2ux-u/+{2} oder also mit 2ux-y = u2 gleichbedeutend.
mfG Orion
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Phili
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Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 14:57:   Beitrag drucken

ok, wenn du mir jetzt noch erklärst warum du die formeln immer nach u² (z.b. bei (1))oder 0 (z.b. bei (2)) umstellst und nicht einfach bei dem üblichen "y=..." belässt, dann würde vielleicht sogar die chance bestehen, dass so ein vollpfosten in der mathematik wie ich den zusammenhang versteht :-) achja.. und wie kommst du überhaupt von y=-x/2u auf x+2uy=0 ??
bekomme das durch umstellen irgendwie nich hin..
thx schonma soweit
Phili
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Phili
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 16:58:   Beitrag drucken

und habe jetzt mal überlegt wie die formel für n ist, wenn A nicht auf dem Ursprung liegt, sondern die Koordinaten A(r|s) hat..
in dieser formel habe ich die tangentensteigung
m(t) genannt. könntest du vielleicht mal prüfen ob das so stimmt oda verbesserungsvorschläge angeben? wär sehr freundlich... also hier meine formel:
n : y = -(1/m(t))x + [s + (r/m(t))]
passt das so? oder wie wird die sonst geschrieben.. danke für die geduld mit mir ;)
grüße Phili
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 981
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 04. März, 2005 - 17:40:   Beitrag drucken

Phili,

Ja,wenn A = (r,s) der Pol ist, so lautet die Gleichung des Lotes (Punkt-Steigungsform !)

(2*) y - s = - (1/m)(x-r) <=> y = -(1/m)x + s + r/m.

Natürlich kann man (1) und (2) auch in der Form
y=... weiterverwenden. Ich wollte nur darauf hinweisen,
dass man ein lineares Gleichungssystem vor sich hat.

y = -x/(2u) <=> 2uy = -x <=> x+2uy = 0.
mfG Orion
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Phili
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 05. März, 2005 - 14:25:   Beitrag drucken

du bist meine rettung hier :-)
aber 2 fragen habe ich vorerst noch, dann besteht wahrhaftig die chance, dass ich danach aufhöre dich zu nerven :-) also:

1. wie kamst du bei deiner ersten erklärung auf die formeln
x = 2u³/(1+4u²) und y = -u²/(1+4u²) ???
also die herleitung dazu wär quhl... weil muss dann auch überlegen wie die aussehen wenn A nicht auf dem Ursprung liegt...

2. Wie kommt man jetzt aus diesen Erkenntnissen auf die Formel um die Fußpunktkurve zu beschreiben? (ne schritt-für-schritt-erklärung für Trottel währ extrem quhl)...

vielen dank für deine geduld mit mir und dein hilfe....

greetz Phili
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 982
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 06. März, 2005 - 18:02:   Beitrag drucken

Phili,

1. Erweitere (1) mit 2u und addiere dazu (2) =>

(1+4u2)x = 2u3.

Erweitere sodann (2) mit (- 2u) und addiere dazu (1) =>

(1+4u2)y = - u2.

Ich habe ja mehrfach darauf hingewiesen, dass es
sich um lineare Gleichungssysteme (in 2 Variablen x,y)
handelt (ax+by = c , dx + ey = f : elementares algebraisches Handwerszeug !). Im allgemeinen Fall
A = (r,s) verhält es sich genau so.

2. Die Gleichungen x =..., y = ... (s.o.) "beschreiben"
K vollkommen: Jedem Wert des Parameters u entspricht genau ein Punkt Q = (x,y) von K, daher die
Bezeichnung "Parameterdarstellung". Will man eine
"parameterfreie" Darstellung, so muss man u eliminieren. Aus (2) folgt z.B.

u = - x/(2y).

Setzt man das in (1) ein, so kommt

- x2/y - y = x2/(4y2) <=>

4(x2+y2)y + x2 = 0.

Dies ist die implizite Koordinatengleichung von K.
Will man diese nach y auflösen, so kommt man in
algebraische Schwierigkeiten (kubische Gleichung !).
Es lohnt auch die Mühe nicht, denn es brächte keine
weitere Einsicht.

3.Nur so nebenbei: Selbstdemontage ("doof","ungebildet","Vollpfosten","Trottel",...) hilft
keinesfalls weiter, und Helfer werden damit auch
nicht motiviert.
mfG Orion
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Phili
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 13. März, 2005 - 17:14:   Beitrag drucken

OK, danke...
konnte jetzt alles einigermaßen nachvollziehen...
aber es ist schon normal, dass zum beispiel graphmatica (ein programm zum zeichnen von graphen) mir für die eingabe von
0 = 4y (x² + y²) + x²
keine kurve zeichnet? ich bekomme zwar keine fehlermeldung, es wird aber auch nichts angezeigt... desewegen bin ich noch leicht skeptisch... oder gibtet dafür ne logische erklärung?
auf jeden fall extrem vielen dank für deine hilfe hier orion
greetz Phili

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