    
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 775
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 10:18: | 
|
Polly,
Wir reden zunächst von Bilinearformen <x,y> auf einem
endlich dimensionalen reellen Vektorraum V:
Eine solche ist durch die Eigenschaften
<x1+x2,y> = <x1,y)> + <x2,y>,
<lx,y> = l<x,y> , l e R
und zwei entsprechende für das 2. Argument definiert.
Die Bilinearform heisst symmetrisch, wenn
<x,y> = <y,x> ,
und sie heisst schiefsymmetrisch, wenn
<x,y> = - <y,x>
für alle x,y e V. Sie heisst positiv definit, wenn
<x,x> > 0 für alle x‡0. Z.B. ist das gewöhnliche Standardskalarprodukt auf Rn von diesem Typ.
Allgemein ist <x,y> = xtAy, wo A eine reelle symmetrische positiv definite Matrix ist (beim Standardskalarprodukt ist A=E).
Eine Basis (u1,...,un) heisst Orthonormalbasis
bzgl. der geg. Bilinearform, wenn <ui,uk> = 0
für i ‡ k, und = 1 für i=k ist.
Verwenden wir statt einer symmetrischen eine schiefsymmetrische Matrix A, d.h.:
At = - A,
so liefert <x,y> = xtAy eine schiefsymmetrische
Bilinearform. Wenn n = 2m gerade ist , so ist
A = [[O,Em] , [-Em,O]] (lies zeilenweise, Em :=
m-reihige Einheitsmatrix)
von diesem Typ. Legt man eine schiefsymmetrische Bilinearform <x,y> als Skalarprodukt zugrunde, so nennt man V einen symplektischen Raum. Eine Basis,
bezüglich derer <x,y> = xtAy mit obiger Matrix A
ist, heisst symplektische Standardbasis.
Das wäre mal eine kurze Zusammenfassung einiger
Grundbegriffe.
mfG Orion
|
