Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3684 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 16:16: |
|
Hi allerseits Damit wir die Spiralen besser in den Griff bekommen, soll mit der Aufgabe LF 261 der Winkel theta zwischen dem Fahrstrahl OP des Punktes P und der Tangente t in P bei einer durch Polarkoordinaten gegebenen Kurve r = r(phi) berechnet werden. Sei tau der Richtungswinkel dieser Tangente bezüglich der x-Achs (Polarachse) ; phi ist nach wie vor der Polarwinkel, also der Winkel von OP bezüglich der positiven x-Achse. Dann gilt: tau = phi + theta , also auch tan (tau) = tan (phi + theta)……………………………………….(1) Andrerseits gilt wegen x = r cos (phi) , y = r sin phi für die Differentiale dx = cos (phi) dr – r sin (phi) d (phi) dy = sin (phi) dr + r cos (phi) d (phi) Durch Division: dy/dx = [tan(phi) + r d (phi) / dr] / [1 – r tan(phi) d (phi) / dr ]……(2) Aufgabe Man schreibe die erste Gleichung (1) mit Hilfe des Additionstheorems analog zur zweiten Gleichung (2) und lese durch einen Vergleich einen Ausdruck für tan (theta) ab. Damit lässt sich tan (theta) mit Hilfe von r und dr /d( phi) = r´ ausdrücken. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1189 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. März, 2004 - 18:42: |
|
Hi, diese Aufgabe hat mir doch so gefallen! Das Ergebniss vorweg: tan(theta) = r / r' Ich habs aber so gemacht: theta = tau - phi tan(theta) = tan(tau - phi) tan(tau - phi) = (tan(tau) - tan(phi)) /(1 + tan(tau)tan(phi)) Wobei hier tan(tau) gleich der Tangentensteigung ist, für die gilt bekanntlich: m = (r' sin(phi) + r cos(phi)) / (r' cos(phi) - r sin(phi)) ==> tan(theta) = m - tan(phi) / (1 + m tan(phi)) Bringt man alles auf einen Nenner klammert aus und nutz aus das z.B.: r cos(phi) tan(phi) = r sin(phi) so erhält man: tan(theta) = r ( cos(phi) + tan(phi)sin(phi) ) / [ r' ( cos(phi) + tan(phi)sin(phi) ) ] tan(theta) = r / r' Bei deiner Methode kam ich nicht zum Ziel, aber das Ergeniss hatte sich da schon angedeutet, und dieser Weg lag ja auch auf der Hand mit deinen Angaben! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3685 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 2004 - 07:35: |
|
Hi Ferdi Jedenfalls ist Dein Schlussresultat richtig! Es ist tan(theta) = r / r' °°°°°°°°°°°°°°°° Mit Hilfe des Additionstheorems des Tangens erhalte ich aus (1): dy/dx = [tan(phi) + tan(theta)] / [1 - tan(phi) * tan(theta)]. Dies vergleichen wir mit (2): dy/dx = [tan (phi) + r d (phi) / dr] / [1 – r tan(phi) d (phi) / dr ]……(2) Es kommt sofort: tan (theta) = r d (phi) / dr = r / r´ , quod erat demonstrandum. MfG H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1190 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. März, 2004 - 11:46: |
|
Hi megamath, da hab ich mal wieder um zwei Ecken gedacht! Meistens sieht man die einfachsten Sachen nicht! mfg |