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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3550
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Februar, 2004 - 17:18: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 228 soll die Länge L einer Raumkurve c
ermittelt werden.
c ist gegeben durch die beiden Gleichungen
y = x^2 / (4a) , z = 2/3 wurzel (x^3 /a) ;
a ist eine positive Konstante.
Für die gesuchte Bogenlänge gilt:
Anfangspunkt: Nullpunkt O
Endpunkt: Po (xo/yo/zo) allgemein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1141
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 14:28: |
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Hi,
hier würde ich erstmal eine geeignete Parametrisierung vorschlagen, z.B.:
x = a * t^2
==> y = ( a * t^4 ) / 4
==> z = 2/3 * a * t^3
Dann wieder mit der bekannetn Formel!
mfg
(Beitrag nachträglich am 20., Februar. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3554
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 15:06: |
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Hi Ferdi
Du kannst auch direkt rechnen!
Sei y = f(x), z =g (x)
Dann gilt für das Bogenelement ds:
ds = sqrt [1+ (f´(x))^2+ (g’ (x))^2] dx,
wenn unter den gestrichenen Funktionen die Ableitungen
nach x verstanden werden.
PS.
die beiden Beispiele 228 & 229
sind dieselben, zeitgemäß maskiert!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3555
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Februar, 2004 - 13:03: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe 228.
Berechnung des Bogenelements nach meinem Vorschlag:
ds = sqrt [1+ (f´(x))^2+ (g’ (x))^2] dx mit
f ´(x) = y ´ = x / (2a) ;
g´(x) = z´ = sqrt (x / a)
daraus entsteht:
ds^2 = [4a^2 + x^ 2 + 4ax] / (4 a ^ 2); hurra: die Quadratwurzel kann
gezogen werden:
ds = (2 a + x ) / 2 a = 1 + x / (2a);
Die Integration nach x von x = 0 bis x = xo liefert:
L = xo + (xo)^2/( 4a ) = xo + yo, ein bemerkenswertes Resultat !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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