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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3450
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 16:58: | 
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Hi allerseits
Zu Beginn der neuen Serie ab LF 201 stehen einige
Aufgaben über die zylindrische Schraubenlinie (Helix) H.
Wir legen die folgende Gleichung mit t als Parameter
zu Grunde:
x = a cos t , y = a sin t , z = b t ,
t im Bogenmass.
Das Parameterintervall J wird von Fall zu Fall definiert,
z.B. 0 < = t < oo
a,b sind gegebene, von null verschiedene Konstanten.
Zur Einführung der Schraubenlinie:
Bearbeite man die folgenden Teilaufgaben:
a)
H liegt auf je einem Zylinder, dessen Achse zu einer
Koordinatenachse parallel ist.
Wie lauten die Gleichungen dieser Zylinderflächen.
b)
Ermittle die Ganghöhe h;
h ist die dem Parameterwert t = 2 Pi entsprechende
z-Koordinate.
c)
Durch einen laufenden Punkt P auf H wird diejenige
Gerade g gelegt, welche die z-Achse rechtwinklig
schneidet.
g überstreicht dabei eine Regelfläche, die so genannte
Schraubenfläche.
Wie lautet eine Koordinatengleichung dieser Fläche?
d)
Man berechne die Bogenlänge s für das
Parameterintervall t = 0 bis t (allgemein).
Wie lautet eine Parameterdarstellung für H mit der
Bogenlänge s als Parameter?
e)
Man zeige:
Die Parallelen zu den Tangenten von H, die durch O gehen,
liegen auf einer Rotationskegelfläche mit der z-Achse als
Achse.
Berechne den Öffnungswinkel dieses so genannten
Richtkegels.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1098
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 17:35: |
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Hi megamath,
das ist ja ganz schön viel Tobak!
Hier schon mal was sich habe:
d)
Bogenlänge s:
ò0 t sqrt( x°(t)^2 + y°(t)^2 + z°(t)^2 ) dt
Vereinafcht sich dank sin^2(t)+cos^2(t)=1 zu
s = t * sqrt( a^2 + b^2) also:
t = s / sqrt( a^2 + b^2)
Damit H:
x = a cos( s / sqrt( a^2 + b^2) )
y = a sin( s / sqrt( a^2 + b^2) )
z = b s / sqrt( a^2 + b^2)
Mal sehen ob ich heute noch was schaffe...
mfg |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 358
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 19:43: |
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Hi Megamath,
Zu a)
Ich wähle die z-Achse als Rotationsachse,der konstante Abstand des laufenden Punktes P sei
a.
|z x p|=a
|(0,0,1) x (x,y,z)|=a
|(0-y,x-0,0-0)|=a
|(-y,x,0)|=a
sqrt[(-y)^2+x^2]=a
x^2+y^2=a^2
x^2/a^2+y^2/a^2=1
Verschiebung des Koordinatensystems:
(x-x0)^2/a^2+(y-yo)^2/a^2=1
---------------------------
Rotation um x-Achse:
(y-y0)^2/a^2+(y-yo)^2/a^2=1
---------------------------
Rotation um y-Achse:
(x-x0)^2/a^2+(z-zo)^2/a^2=1
---------------------------
Zu b)
h=2*pi*b
Den Rest muß ich mir erstmal genauer anschauen...
Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3454
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 20:38: |
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Hi Ferdi,
Die Bogenlänge ist richtig.
Wir benötigen sie später bei Berechnungen der Krümmung
und der Torsion.
Es empfiehlt sich nämlich, die Bogenlänge als
„natürlichen“ Parameter zu benützen.
Die assoziierte Schraubenfläche lässt sich auch parameterfrei
schreiben, indem man sie alle Beide eliminiert; Resultat:
z = b arc tan(y/x)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3455
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 20:40: |
|
Hi Ferdi,
Die Bogenlänge ist richtig.
Wir benötigen sie später bei Berechnungen der Krümmung
und der Torsion.
Es empfiehlt sich nämlich, die Bogenlänge als
„natürlichen“ Parameter zu benützen.
Die assoziierte Schraubenfläche lässt sich auch parameterfrei
schreiben, indem man sie alle Beide eliminiert; Resultat:
z = b arc tan(y/x)
°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3456
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 20:43: |
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Hi Olaf,
Ich danke Dir für Deinen Beitrag;
ich komme morgen auf die Lösung zurück.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3457
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 21:13: |
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Hi Olaf,
Durch Elimination von t aus den paarweise
zusammengenommenen Gleichungen erhält
man die drei projizierenden Zylinder.
x^2 + y^2 = a^2
x = a cos z/b
y = a sin z/b
Die Projektion der Schraubenlinie auf die
(x,z)-Ebene ist eine cos-Kurve, diejenige
auf die (y,z)-Ebene eine Sinuskurve.
Man erkennt leicht ihre Verwandtschaft untereinander.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 360
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Januar, 2004 - 17:52: |
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Hi Megamath,
Ich verstehe leider nicht,worauf sich Dein Hinweis bezieht.
Habe ich Aufgabenteil a) falsch verstanden?
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3464
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Januar, 2004 - 18:32: |
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Hi Olaf,
Ich glaube schon:
Die Teilaufgabe ist leider nicht klar genug formuliert.
So können Missverständnisse entstehen.
Die Frage hätte sich auf die folgenden Tatsachen beziehen
sollen:
Die Elimination von t zwischen je zwei der Gleichungen
x = a cos t , y = a sin t , z = b t erhält man
x^2 + y^2 = a^2
x = a cos (z/b)
y = a sin (z/b)
Die Projektion der Kurve auf der (x,y)-Ebene ist ein Kreis;
die Kurve liegt auf einem Kreiszylinder.
Die beiden anderen Projektionen sind kongruente
goniometrische Kurven, darüber liegen die entsprechenden
projizierenden Zylinder.
So war es gemeint,sorry.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 361
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 04:01: |
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Hi Megamath,
Achso,alles klar!
Zu c)
Also müßte man wohl die Flächengleichung erhalten,indem man aus der Gleichung der Schraubenlinie den Radius a eliminiert:
1) x=a*cos(t)
2) y=a*sin(t)
3) z=b*t
2)/3) ergibt mit t=z/b
y=x*tan(z/b)
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3466
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 04:34: |
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Hi Olaf
Morgenstunde schafft Klarheit:
alles ok
MfG
H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 362
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 16:09: |
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Hi Megamath,
Zu e)
Es ist r=(a*cos(t),a*sin(t),b*t)
Damit ergibt sich für die Parallelen
s*r´=(-a*sin(t)*s,a*cos(t)*s,b*s).
Man erhält also die Gleichungen
1) x=-a*sin(t)*s => x^2=(a*sin(t)*s)^2
2) y=a*cos(t)*s => y^2=(a*cos(t)*s)^2
3) z=b*s => s=z/b
x^2=(a*sin(t)*z/b)^2
y^2=(a*cos(t)*z/b)^2
--------------------(+)
x^2+y^2=(a*sin(t)*z/b)^2+(a*cos(t)*z/b)^2
Nach Umformung ergibt sich
x^2/a^2+y^2/a^2-z^2/b^2=0
-------------------------
Berechnung des Öffnungswinkels:
Für y=0 ergibt sich ein Geradenpaar in der x,z-Ebene:
x^2/a^2-z^2/b^2=0
Es sind die Geraden
z=b/a*x und z=-b/a*x.
Daraus folgt
tan(alpha/2)=a/b
alpha/2=arctan(a/b)
alpha=2*arctan(a/b)
-------------------
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 30., Januar. 2004 von heavyweight editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3468
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 16:21: |
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Hi Olaf,
Es funktioniert auch am Abend !
Besten Dank für Deinen Beitrag
MfG
H.R.Moser,megamath |
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