Autor |
Beitrag |
Cornelius (Cornelius)
Junior Mitglied Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 12 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 00:41: |
|
Hi! Ich bin grad etwas verwirrt hier mit meiner Aufgabenstellung. Ich habe folgende Funktion gegeben: x^a * exp(-x^2) Die zweite Ableitung schaut folgendermaßen aus: x^a * exp(-x^2) * (a^2/x^2-4a+4x^2-a/x^2-2) Laut Aufgabenstellung soll die Anzahl der WP von a abhängen, nur komme ich komischerweise auf 4 WP, die zwar von a abhängen, aber es sind eben exakt 4 und nicht 4a oder sowas... Wo liegt mein Fehler? Gruß Cornelius (Beitrag nachträglich am 25., Januar. 2004 von Cornelius editiert) |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1943 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 09:13: |
|
Es ergibt sich eine quadratische Gleichung in der Unbekannten (x2) Erstens muß, damit es WP gibt x2>0 gelten, und die Diskriminante ( Der Zähler des Ausdrucks unter der Quadratwurzel ) > 0 sein . Es sind also nicht beliebige a möglich Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 764 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 10:40: |
|
Cornelius, Nach meiner Rechnung ist (rechne nach !): f''(x) = [4x4 - 2(2a+1)x2 + (a(a-1)] xa-2e-x2. Es kommt auf die Anzahl der Nullstellen des Termes in [ ] an, dieser lässt sich so schreiben: [2x2 - (2a+1)/2]2 - (8a+1)/4 (quadratische Ergänzung). Die Anzahl der Nullstellen sei N(a). Jetzt hat man eine Fallunterscheidung vorzunehmen: 1. a < - 1/8 : N(a) = 0. 2. a = - 1/8 : N(a) = 2 ( x1,2 = ±sqrt(3)/4 ). 3. a > -1/8 : .....: jetzt kommt es noch auf das Vorzeichen von 2a+1 an : rechne selbst ! Auch wenn du für N(a) keinen expliziten Funktionsterm hast, so ist N eben doch eine Funktion von a , ihr Wertevorrat ist die Zahlenmenge {0, 2, 4}
mfG Orion
|
Cornelius (Cornelius)
Junior Mitglied Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 13 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 12:21: |
|
Also hängt die Anzahl der Nullstellen (N(a)) nur davon ab, ob das Restglied der quadratischen Ergänzung größer, kleiner oder gleich Null ist, hab ich das richtig verstanden? Danke!!! gruß Cornelius |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 765 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Januar, 2004 - 14:35: |
|
Cornelius, Sagen wir's etwas einfacher: Wie du leicht nachrechnest, lauten die 4 Nullstellen formal x = ±(1/2)sqrt[2a+1 ±sqrt(8a+1)] Damit N(a) =4 ist, muss also 8a+1 > 0 u n d 2a+1 > sqrt(8a+1) sein. Das ist genau dann der Fall, wenn - 1/8 < a < 0 oder a > 1 ist
mfG Orion
|
|