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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3412
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Januar, 2004 - 17:04: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe 199** ist wiederum eine Zusatzaufgabe.
Sie handelt abermals von einer algebraischen Fläche
dritter Ordnung und lehnt sich an eine Aufgabe an,
die gestern in diesem Forum als eine frühere Abituraufgabe
gestellt wurde.
Die Aufgabe 199** lautet:
Eine Fläche mit dem laufenden Punkt P(x/y/z) ist durch
eine Gleichung mit zwei Parametern s und t wie folgt gegeben:
x = t^2 + 3 s t
y = - 3 s t
z = - t^2 + 8 s
a)
Wie lautet eine parameterfreie Koordinatengleichung der Fläche?
b)
die Fläche wird mit der Ebene x + y + z = 8 in der Kurve C geschnitten.
Berechne die Gleichung der Normalprojektion von C in die (x,y)-Ebene.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1089
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 11:46: |
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Hi megamath,
nicht das diese schöne Aufgabe in Vergessenheit gerät! Nur finde ich keine geeignete Eliminierung der Paramter r und s. Kannst du mir auf die Sprünge helfen??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3423
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 12:34: |
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Hi Ferdi,
Lösungshinweise:
Addiere die erste und zweite Gleichung!
Addiere alle drei Gleichungen!
Webe die Resultate in die erste Gleichung ein!
Quadriere Dein Ergebnis nach geeigneter Umformung
und eliminiere endlich noch das renitente t durch Ausdrücke
in x, y ,z
Ergebnis b): y^2 = 9 (x+y)
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1090
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:00: |
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Hi megamath,
erstaunlich, ich war schon auf dem richtigen Weg, aber ich habe mit t=sqrt(x+y) gerechnet, das war mein Fehler!
So ists einfach:
I)+II)
x + y = t^2
I)+II)+III)
(x + y + z ) / 8= s
Das in I) mit Quadratur:
64y^2 = 9 * (x+y) * (x+y+z)^2
Nun die Projektion der Schnittkurve:
Wir eliminieren z aus der Ebene und der Fläche:
z = 8 - x - y
==> man braucht die Fläche nicht ausmultiplizieren, man sieht schon x und y heben sich auf:
64y^2 = 9 * (x+y) * (x+y+(8-x-y))
y^2 = 9(x+y)
Eine Parabel!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3425
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 13:39: |
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Hi Ferdi
Bravo!
Ein Erfolgserlebnis mehr.
MfG
H.R.Moser,megamath |
