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GW mit Bernoulli-L´Hospital

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » GW mit Bernoulli-L´Hospital « Zurück Vor »

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Eva191105 (Eva191105)
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Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 19:10:   Beitrag drucken

Hey.
Ich soll mal wieder ein paar Grenzwerte bestimmen und hab da wohl ein paar Probleme. Der Prof sagte, wir sollen alle GW mit den Regeln von Bernoulli - l´Hospital bestimmen...

1) lim x->0 x^x
x^x kann man ja umschreiben zu e^(x*logx), aber bringt mir das was? Ich brauch doch einen Bruch, oder?!?

2) lim x->0 (1/x - 1/(e^x-1)
Kann ich da die Limites einfach auseinander ziehen und L´Hospital einzeln anwenden, so dass als GW 0 rauskommt?

3) lim x->0 ((x-sinx)/x³)
Nach dreimaliger Anwendung der Regel kommt bei mir 1/6 als Ergebnis raus. Ist das richtig?

4) lim x->1 (lnx*ln(1-x))
Das muß ja auch erst in einen Bruch umgewandelt werden, ist wohl der Fall 0*oo oder so... Hab das dann auch probiert über (1/(1/lnx))*ln(1-x), aber die Ableitungen werden so komisch, das ich bezweifel, dass das richtig ist...

Also ich weiß da nicht mehr weiter. Kann mir jemand helfen?
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 336
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 21:28:   Beitrag drucken

Hi,

Zu 1):

limx->0xx=lim e[x*ln(x)]=elimx->0[x*ln(x)]=e0=1

Dabei ist

limx->0x*ln(x)=limx->0ln(x)/(1/x)=limx->0(1/x)/(-1/x2)

=limx->0(-x)=0


Gruß,Olaf
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1915
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Januar, 2004 - 21:36:   Beitrag drucken

1) x*lnx = x/(1/lnx)

2) ich würd eher auf gemeinsamen Nenner bringen,
dann ist's "0/0"

3)ja, aber einfacher mit Reihenentwicklung des sinx

4)
ln(1-x)/(1/lnx);
[-1/(1-x)]/[(1/x)/ln²x] = -x*ln²x/(1-x);
ln²x/(1-x);
[2lnx / x] / (-1); 0/1 = 0
----------
hast Du kein Mathematica oder anderes CAS?
notfalls
http://www.mathe-online.at/Mathematica/
dort z.B.
aufg.4)
Limit[Log[x]*Log[1-x],x -> 1]
(alle eingebaute Funktionsnamen beginnen mit Großbuchstaben, Argumente in [],Exoponenten ggf
nach den [], also z.B. Sin[x]^2 für sin²x .
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3371
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 09:39:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Wir führen nun die Hauptachsentransformation der quadratischen Form
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2 x y – 2 y z – 2 z x durch.
Die Matrix M der Koeffizienten lautet in Schreibweise von Maple:
M =([[2,-1,-1],[-1, 2,-1],[-1,-1,2]])

In den eckigen Klammern stehen der Reihe nach die Zeilenvektoren.
Da Du bereits sehr gute Vorarbeit geleistet hast, kann ich mich kurz fassen.
Charakteristische Gleichung (Säkulargleichung): x^3 - 6 x ^2 + 9 x = 0
Eigenwerte L als Lösungen dieser Gleichung:
L1=0 ; L2 = 3 ; L3 = 3.

Nota bene : die Doppellösung weist darauf hin, dass eine Rotationsfläche
vorliegt. Der zum einzelnen Eigenwert gehörende Eigenvektor gibt uns die
Richtung der Rotationsachse.

Die Eigenvektoren sind
Zu L1= 0 : v1 = {1;1;1} - - - > Achsenrichtung
Zu L2 = 3 : v2 = {-1;1;0}
Zu L3 = 3 : v2 = {-1;0;1}

Das Ergebnis der Hauptachsentransformation erhält man nun
ohne Rechnung als Geschenk für gehabte Mühen;
die Flächengleichung lautet in den neuen Koordinaten X,Y,Z :
L1 * X^2 + L2 * Y^2 + L3 * Z^2 = 75, also:
3 X^2 + 3 Y^2 = 75 oder
X^2 + Y^2 = 25
Wir stellen nochmals fest: r = 5
Bravo!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3372
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 09:44:   Beitrag drucken

Hi allerseits,



Mein Beitrag hat sich fälschlicherweise
hierher verirrt!
Motto: gone with th wind !

MfG
H.R.Moser,megamath

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