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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3390
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 21:46: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 191 ist eine Verallgemeinerung der
Aufgabe LF 189.
Im Paraboloid q y^2 + p z^2 – 2 x = 0
sind die Koeffizienten p und q gegeben und nicht
null.
P1(x1/y1/z1) ist ein laufender Punkt dieser Fläche.
Man bestimme für alle möglichen Lagen von P1
auf dem Paraboloid diejenige Fläche, welche von
der Polarebene von P1 bezüglich der Kugel
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 umhüllt wird.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3395
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Januar, 2004 - 09:08: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 191:
P1(x1/y1/z1) liegt auf dem Paraboloid; dann gilt
q y1^2 + p z1^2 – 2 p q x1 = 0, Auflösung nach x1:
x1 = 1/2p y1^2 + 1/2q z1^2.
Polarebene bezüglich der Kugel mit P1 als Pol
x1 x + y1 y + z1 z – r^2 = 0
x1 wird ersetzt durch den Term in der dritten Zeile:
(1/2p y1^2 + 1/2q z1^2 ) x + y1 y + z1 z – r^2 = 0
Die linke Seite werde mit F bezeichnet:
F = (1/2p*y1^2 + 1/2q*z1^2) x + y1 y + z1 z – r^2
F = 0 ist die Gleichung einer Ebenenschar mit y1 und z1
als Parameter.
Die gesuchte Fläche ist die Enveloppe dieser Schar.
Wir finden ihre Gleichung, indem wir F(y1, z1) je
partiell nach y1 und z1 ableiten und diese Ableitungen
jedes Mal null setzen
Ableitung nach y1:
1/p y1 x + y = 0 daraus y1 = - p /x * y, wie in der
Aufgabe LF 190.
Ableitung nach z1:
1/q z1 x + z = 0 daraus z1 = - q /x * z, wie in der
Aufgabe LF 190.
Wir sind bereits am Ziel, wenn wir den Schluss der
Lösung der Aufgabe LF 190 heranziehen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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