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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3324 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 15:04: |
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Hi allerseits Das Thema der Aufgabe LF 170 ist der Begriff der reziproken oder konjugierte Polaren einer Kugel. Gegeben ist die Kugel x^2 + y^2 + z^2 = r^2. Es gilt der Satz: Die Polarebenen der Punkte einer Geraden gehen durch eine zweite Gerade, die reziproke Polare der ersten. Aufgabe a) Man beweise die Behauptung: Reziproke Polaren einer Kugel sind zueinander normal. b) Man beantworte die Frage: In welchen Fällen schneiden sich reziproke Polaren einer Kugel? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1049 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 16:06: |
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Hi megamath, a) die Polarebene sei: Xx + Yy + Zz = r^2 Mit der Geraden g in Parametreform X = a + ru , Y = b + rv , Z = c + rw geordnet: ax + by + cz + r * ( ux + vy + wz ) = r^2 Der Richtungsvektor der Büschelachse(der reziproken Polaren) lautet: t = { (bw - cv) , (cu - aw) , (av - bu) } Bilden wir nun das Skalarprodukt von t und dem Richtungsvektor r der Geraden g : t.r = 0 ! D.h. sie sind zu einander normal! q.e.d. bei b) muss ich mal sehen, muss jetzt erst mal die Batterie am Auto wechseln, damit es morgen wieder fährt! mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3327 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 16:47: |
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Hi Ferdi, Ich komme später auf die Aufgabe zuerück, insbesondere auch auf die Teilaufgabe b) Nimm Dir mit dem Auto ein Beispiel am amerikanichen Landeroboter "Spirit": der hat genügend Strom ! MfG H.R.Moer,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3329 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 07:51: |
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Hi Ferdi Es folgen ein paar Ergänzungen zum Begriff der reziproken Polaren bezüglich einer Kugel. Gegeben sei eine Kugel ku mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Gerade g. Es soll die zu g reziproke Gerade g* durch stereometrische Überlegungen konstruiert werden. Die zu g normale Diametralebene E durch M schneide g im Punkt F und ku im Großkreis c. g* ist dann die in dieser Ebene E liegende Polare des Punktes F in Bezug auf den Kreis c. Es folgt daraus, dass reziproke Polaren im Allgemeinen windschief normale Gerade sind, von denen die eine die Kugel schneidet, die andere sie jedoch meidet. Ist die eine der Polaren Kugeltangente, so ist die andere die in der zugehörigen Tangentialebene T liegende normale Tangente. Genau in diesem Fall schneiden sich zwei reziproke Polaren. Da der Pol einer durch eine gegebene Gerade gehenden Ebene auf der reziproken Polaren liegt und andrerseits der Pol einer Tangentialebene der Berührungspunkt ist, so gilt: Von zwei reziproken Polaren ist die eine die Verbindungsgerade der Berührungspunkte der beiden Tangentialebenen, die man durch die andere an die Kugel legen kann. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3330 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 09:14: |
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Hi Ferdi, Es könnte nützlich sein, den Begriff der Polarebene eines Punktes P bezüglich der Kugel x^2 + y^2 + z^2 = r^2 etwas unter die Lupe zu nehmen. Wir benützen dazu die bekannte Parameterdarstellung einer Geraden g , die durch zwei Punkte P1(x1/y1/z1) und P2(x2/y2/z2) bestimmt ist mit Hilfe des Teilverhältnisses t = P1 P / P P2 des laufenden Punktes P(x/y/z) als Parameter. Die Gleichungen lauten x = (x1 + t x2) / (1 + t) y = (y1 + t y2) / (1 + t) z = (z1 + t z2) / (1 + t) Schneidet man diese Gerade mit der Kugel, so erhält man eine quadratische Gleichung zur Berechnung des Parameters t: t^2(x2^2+y2^2+z2^2-r^2) + 2t (x1x2+y1y2+z1z2-r^2) + (x1^2+y1^2+z1^2-r^2) = 0 Liegen die Punkte P1 und P2 so, dass die Relation x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 - r^2 = 0 erfüllt ist, so sind die beiden Lösungen t1 und t2 entgegengesetzt gleich: t2 = - t1. Dies bedeutet aber: die Punkte P1 , P2 und die beiden Schnittpunkte S1, S2 von g mit der Kugel bilden eine harmonische Punktgruppe. Folgerung: Wir halten den Punkt P1 fest und legen Sekanten durch ihn, welche die Kugel in S1, S2 schneiden. Zu P1 werde der vierte harmonische Punkt P2 bezüglich S1 S2 bestimmt. Die Koordinaten x,y von P2 erfüllen dann die lineare Gleichung x1 x + y1 y+ z1 z – r^2 = 0 ; P2, der vierte harmonische Punkt, liegt auf einer Ebene, der Polarebene zu P1. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1051 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 09:59: |
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Hi megamath, Polarentheorie ist ein sehr interesantes Thema. Besten Dank für deine Ausführungen! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3331 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 16:05: |
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Hi Ferdi Es lohnt sich, noch ein wenig bei der im letzten Abschnitt aufgestellten quadratischen Gleichung t^2(x2^2+y2^2+z2^2-r^2) + 2t (x1x2+y1y2+z1z2-r^2) + (x1^2+y1^2+z1^2-r^2) = 0 zur Berechnung des Parameters t zu verweilen. Die beiden Lösungen t1 und t2 liefern die Schnittpunkte der Kugel mit der Geraden g, die durch die zwei Punkte P1(x1/y1/z1) und P2(x2/y2/z2) bestimmt ist. Wir ermitteln die Diskriminante DELTA dieser Gleichung; es gilt: DELTA = (x1x2+y1y2+z1z2-r^2)^2 – (x2^2+y2^2+z2^2-r^2) (x1^2+y1^2+z1^2-r^2) Wir formen fleißig um und bekommen DELTA = r^2 d^2 – 4 A^2 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° hierbei ist d der Abstand der Punkte P1,P2 , und A ist die Fläche des Dreiecks O P1 P2 (Betrag des Vektorproduktes der Vektoren OP1, OP2) es ist ja 4 A^2 = (y1 z2-y2 z1)^2+(z1 x2-z2 x1)^2+(x1 y2-x2 zy1)^2 Bezeichnet man mit h noch den Abstand der Geraden g vom Nullpunkt O, so kommt schließlich: DELTA = d^2 (r^2 - h^2), ein leicht zu interpretierendes Resultat. Für DELTA = 0 wird g zur Tangente. Es ist nun nicht mehr schwierig, von hier aus auf die Gleichung des Tangentenkegels mit P1 als Spitze der Kugel zu kommen. Das soll in einer Fortsetzung dieser kleinen Arbeit geschehen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3332 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 17:20: |
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Hi Ferdi Fortsetzung der kleinen Betrachtung einer großen Sache. Wir haben den Satz hergeleitet: die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gerade g, bestimmt durch die Punkte P1(x1/y1/z1) und P2(x2/y2/z2) eine Tangente der Kugel x^2+y^2 +z^2 = r^2 ist, lautet (x1x2+y1y2+z1z2-r^2)^2 = (x2^2+y2^2+z2^2-r^2) (x1^2+y1^2+z1^2-r^2) Nun postulieren wir: P1 sei ein fester Punkt außerhalb der Kugel und P2 sei ein laufender Punkt P(x/y/z) und der Bedingung unterworfen, dass P1P die Kugel berühren soll. Wir ersetzen in der obigen Bedingung x2 durch x, y2 durch y, z2 durch z . Es kommt: (x1 x+y1 y+z1 z - r^2) ^ 2 = (x1^2+y1^2+z1^2 - r^2) (x^2 + y^2 + z^2 - r^2)……………(1) Voilà! Dies ist die Gleichung des Tangentenkegels mit der Spitze P1(x1/y1/z1) bezüglich der Kugel x^2 + y^2 + z^2 = r^2……………………………………………………………..(2) Verbindet man die Gleichung (1) mit der Gleichung der Ebene x1 x + y1 y + z1 z – r^2 = 0……………………………………………………..(3) und der Gleichung (2) der Kugel, so ergibt sich, dass jeder Punkt, der auf je zwei dieser drei Flächen liegt, auch auf der dritten Fläche liegt, eine Tatsache, von der wir oft schon Gebrauch gemacht haben. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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