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Lockere Folge 118 : Krümmung bei der...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3101
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 15:42:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Aufgabe LF 118 soll der über dem
abgeschlossenen x-Intervall [1,2] liegende
Kurvenzweig der Gammafunktion G(x) in den Endpunkten
A(1/1), B(2/1) bezüglich der Krümmung untersucht werden.
Die Aufgabe lautet:
Man berechne die Krümmung
kappa A und kappa B in den genannten Punkten
und vergleiche die Werte.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 949
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 21:04:   Beitrag drucken

Hi megamath,

willst du hier auf den Extrempunkt der Gammafuntion in diesem Intervall hinnaus?

Ansonst könntest du vielleicht einen Hinweis geben, wie man hier die Krümmung berechnen soll? Ich kenn nur die Formel:
k = y'' / ( 1+ (y')^2 ) ^(3/2)
oder die für Funktionen die in Parameterform gegeben sind.

Da hier ja y(x) = G(x) = ò0 ¥ e^(-t)*t^(x-1) dt , finde ich die Rechnug etwas schwierig.

Ansonsten könnte man ja auch so argumentieren:
Die Tangenet im Punkt A hat die Steigung
G'(x) = Psi(x) * G(x)
G'(1) = -C < 0
wohingegen im Punkt B
G'(2) = 1 - C > 0
also liegt hier eine Änderung der Krümmung vor.

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3107
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 13:40:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Bei der Aufgabe spielt der Tiefpunkt im angegebenen Intervall keine Rolle
Ich habe die Aufgabe in der Absicht gestellt, es sollte die erste und zweite Ableitung
der Gammafunktion G(x) berechnet werden.
Mit der Formel, die Du angegeben hast, kann dann die Krümmung k berechnet werden.

Ermittlung der ersten und zweiten Ableitung an den Stellen x = 1 und x = 2 :
Beachte:
G ´ (x )= Psi(x) * G(x)
G´´ (x) = Psi ´(x) * G(x) + Psi(x) * G´ (x)

G (x+1) = x * G (x)
G´ (x+1) = G(x) + x * G´ (x)
G´´ (x+1) = 2 G ´ (x) + x * G ´´ (x)

Allgemein
G´´(x) = Psi ´ (x) * G(x) + Psi(x) ^ 2 * G(x)
Damit kommt z.B.

G´´(1) = Pi^ 2/ 6 + C^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
C: Euler-Mascheronische Konstante

Für die Krümmungen (numerische Werte) erhält man:

In A : k1 ~ 1,2850
In B : k2 ~ 0,6436

NB. k1 / k2 ~ 1,9966

Deine Argumentation am Schluss bezüglich der Krümmung trifft nicht zu.
Die Änderung der Steigung ist kein Indiz für eine Änderung der Krümmung.
Beim Kreis x^2 +y^2 = 1 z.B. ändert die Steigung der Tangente andauernd;
die Krümmung bleibt konstant!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 950
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 17:13:   Beitrag drucken

Hi megamath,

besten Dank für deine Lösung! Ich habe wieder viel dazu gelernt!

Naja, manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht!

mfg

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