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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3101 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 15:42: |
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Hi allerseits, In der Aufgabe LF 118 soll der über dem abgeschlossenen x-Intervall [1,2] liegende Kurvenzweig der Gammafunktion G(x) in den Endpunkten A(1/1), B(2/1) bezüglich der Krümmung untersucht werden. Die Aufgabe lautet: Man berechne die Krümmung kappa A und kappa B in den genannten Punkten und vergleiche die Werte. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 949 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 21:04: |
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Hi megamath, willst du hier auf den Extrempunkt der Gammafuntion in diesem Intervall hinnaus? Ansonst könntest du vielleicht einen Hinweis geben, wie man hier die Krümmung berechnen soll? Ich kenn nur die Formel: k = y'' / ( 1+ (y')^2 ) ^(3/2) oder die für Funktionen die in Parameterform gegeben sind. Da hier ja y(x) = G(x) = ò0 ¥ e^(-t)*t^(x-1) dt , finde ich die Rechnug etwas schwierig. Ansonsten könnte man ja auch so argumentieren: Die Tangenet im Punkt A hat die Steigung G'(x) = Psi(x) * G(x) G'(1) = -C < 0 wohingegen im Punkt B G'(2) = 1 - C > 0 also liegt hier eine Änderung der Krümmung vor. mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3107 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 13:40: |
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Hi Ferdi, Bei der Aufgabe spielt der Tiefpunkt im angegebenen Intervall keine Rolle Ich habe die Aufgabe in der Absicht gestellt, es sollte die erste und zweite Ableitung der Gammafunktion G(x) berechnet werden. Mit der Formel, die Du angegeben hast, kann dann die Krümmung k berechnet werden. Ermittlung der ersten und zweiten Ableitung an den Stellen x = 1 und x = 2 : Beachte: G ´ (x )= Psi(x) * G(x) G´´ (x) = Psi ´(x) * G(x) + Psi(x) * G´ (x) G (x+1) = x * G (x) G´ (x+1) = G(x) + x * G´ (x) G´´ (x+1) = 2 G ´ (x) + x * G ´´ (x) Allgemein G´´(x) = Psi ´ (x) * G(x) + Psi(x) ^ 2 * G(x) Damit kommt z.B. G´´(1) = Pi^ 2/ 6 + C^2 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° C: Euler-Mascheronische Konstante Für die Krümmungen (numerische Werte) erhält man: In A : k1 ~ 1,2850 In B : k2 ~ 0,6436 NB. k1 / k2 ~ 1,9966 Deine Argumentation am Schluss bezüglich der Krümmung trifft nicht zu. Die Änderung der Steigung ist kein Indiz für eine Änderung der Krümmung. Beim Kreis x^2 +y^2 = 1 z.B. ändert die Steigung der Tangente andauernd; die Krümmung bleibt konstant! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 950 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 17:13: |
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Hi megamath, besten Dank für deine Lösung! Ich habe wieder viel dazu gelernt! Naja, manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald nicht! mfg |
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