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Stylar (Stylar)
Junior Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 16:53: | 
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Hallo.
Ich soll lim mit x->0 von(1/x - 1/sinx) berechnen.
Da sinx = sqrt(cos²x-1) habe ich das zu x^(-1) - (cos²x-1)^(-1/2) umgeformt. Aber irgendwie bringt mir das auch noch keine Erkenntnis. Kann mir jemand helfen??? |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1873
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 17:24: |
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(sinx - x)/(x*sinx)
L'Hosp.
(cosx - 1)/[sinx + x*cosx]
L'Hosp.
-sinx/[cosx + (cosx - x*sinx)]
0/2
lin{x-->0}(1/x - 1/sinx) = 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 327
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 17:33: |
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Hi,
limx->01/x-1/sin(x)
=limx->0(sin(x)-x)/(x*sin(x))
=limx->0(cos(x)-1)/(x*cos(x)+sin(x))
=limx->0(-sin(x)/(2*cos(x)-x*sin(x))
=0
Gruß,Olaf |
Stylar (Stylar)
Junior Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 18:36: |
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Erstmal danke für eure Mühen. Aber so darf ich das leider nicht lösen, da wir den L´Hospital noch nicht in der Vorlesung hatten. Kann man das auch noch irgendwie anders lösen? |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 328
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 21:27: |
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Hi,
Das würde mich auch interessieren.Mir ist es auf Anhieb jedenfalls nicht gelungen,aber das
hat nicht zu sagen.
Gruß,Olaf
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Stylar (Stylar)
Junior Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 21:35: |
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Ich hab mir eben sagen lassen, dass das wohl mit der Restgliedabschätzung funktionieren könnte. Werd mir die dann wohl zu Gemüte führen müssen, hatte sie quasi verdrängt. In 2 Wochen weiß ich dann, wie es hätte gehen sollen... |
Brainchild (Brainchild)
Neues Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 23:21: |
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Hallo, ich versuche es auch mal:
Nach Restgliedabschätzung gilt für x € [0;2] :
1.) |sin(x)-x|<= x^3/6
=> sin(x) >= x-x^3/6
= x*(1-x^2/6)
>= x*(1-4/6) <--( wegen x €[0;2] )
= x/3
2.) Jetzt benutzen wir Epsilon ( im folenden: eps)
Delta (im folgenden: d) Definition des
Funktionsgrenzwertes :
{Wiederholung der Def.:
f(x)->a für x->xo
:<=> für alle eps>0 existiert d>0, so daß für alle x aus Definitionsbereich ohne x0 gilt: |x-x0|<d => |f(x)-a|<eps}
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Brainchild (Brainchild)
Neues Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 23:28: |
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Hier ist der Rest hab ausversehen schon gesendet:
Also zu 2.)
|x-0|=|x|<=d ; d:=2*eps
Es gilt:
|1/x-1/sin(x)|=|(sin(x)-x)/x*sin(x)|
<=|(x^3/6)/x*(x/3)|
=|x/2|
<= d/2 < eps
Und fertig.  |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 838
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 23:35: |
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Hallo,
es geht sehr schön mit der Potenzreihenentwicklung des Sinus'. Zuerst formen wir noch um:
1/x - 1/sinx = (sinx - x)/(x*sinx) = ((sinx)/x - 1)/sinx =
Nun setzen wir die bekannte Reihe für
sinx = x - x³/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ..... und erhalten:
= (1 -x²/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + ... - 1)/(x - x³/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + .....) =
[Im Zähler heben sich die beiden 1 auf]
Wir dividieren jetzt noch Zähler und Nenner durch x:
= (x/3! + x³/5! - (x^5)/7! + ...)/(1 - x²/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + .....)
Der Grenzübergang für x -> 0 geht jetzt sehr leicht, denn alle x-Glieder werden zu Null und im Nenner bleibt 1!
lim [x -> 0][...] = 0/1 = 0
Gr
mYthos
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 329
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Dezember, 2003 - 15:25: |
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Hi,
Vielen Dank an Brainchild und Mythos!
Gruß,Olaf |
