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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3257
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 15:40: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 149 ist dem Thema
Parameterdarstellung eines Kreises in allgemeiner Lage
gewidmet.
Gegeben ist die Kugel x^2 + y^2 + z^2 = 9
Die Kugelpunkte P(2 / 2 / 1) und Q(1 /-2 / 2)
bestimmen einen Großkreis c der Kugel.
Für den laufenden Punkt P(x/y/z) von c
ist eine Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t), z= z(t)
herzuleiten.
Bestimme denjenigen Punkt H auf c,
dessen z- Koordinate den größten Wert hat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1013
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 17:32: |
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Hi,
da ein Großkreis entstehen soll, ist der Mittelpunkt des Kreises gleich dem Mittelpunkt der Kugel!
Wir suchen eine Paramterdarstellung der Form:
c: a*cos(t) + b*sin(t)
wobei a und b parallel zur Schnittebene PQO liegen. Sie stehen Senkrecht aufeinander und haben den Betrag r=3! Diese sind leicht zu finden!
Der Normalenvektor von E lautet n=(2,-1,-2), nehmen wir als Vektor a = PO und als b = a x n ! Also Vektorprodukt von a und n!
Wir erhalten:
a = (2,2,1) und b = (1,-2,2)
|a| = |b| = 3 ! a*b = 0 (Skalarprodukt)! Passt!
Wir haben nun die Paramterdarstellung:
x = 2cos(t) + sin(t)
y = 2cos(t) - 2sin(t)
z = cos(t) + 2sin(t)
wobei t von null bis 2pi läuft!
So weit erst mal...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3258
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 17:37: |
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Hi Ferdi
Das ist alles richtig!
Der Rest liegt auf der Hand.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1014
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 18:51: |
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Hi,
das scheint mir nicht so!
Untersuche ich
z(t) = cos(t) + 2sin(t)
auf Extrema, so erhalte ich die Stelle t = arctan(2)!
Dies würde dem Punkt H ( 4/sqrt(5) | -2/sqrt(5) | sqrt(5) ) entsprechen. Dieser liegt zwar auf der Kugel aber nicht auf dem Schnittkreis, da er nicht in der Ebene PQO liegt!
Wo liegt mein Fehler?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3262
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 19:46: |
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Hi Ferdi
Ich habe als Gleichung der Grosskreisebene
- 2 x + y + 2 z = 0 bekommen.
Der Punkt H liegt wohl auf dieser Ebene!
Schreibe zH besser so: zH = 5/sqrt(5) !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1016
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Dezember, 2003 - 20:19: |
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Hi,
alles klar! Hab meinen Fehler gefunden!
mfg |
