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Tijara (Tijara)
Neues Mitglied
Benutzername: Tijara
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 07:34: | 
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Hallöchen!
Ich hab hier 3 klitzekleine Aufgaben, wo ich absolut nicht weiter komme. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen...
1. p Element Q mit p>1 fest geg.. Für welche z konvergiert bzw. divergiert die Reihe S[k>=1]über(k^-p z^k)
2. Für welche p Element Q konvergiert bzw divergiert S[k>=1]über(k^p(sqr(k+1)-sqr(k))
3. Es sei f(k+1... das ist der Index)=f(k)+f(k-1) für k Element N. f(0)=f(1)=1. Knvergiert S[k>=0]über(1/f(k))
Bitte helft mir. Bin im ersten Semester Physik und hab mir das alles viel leichter vorgestellt...
Liebe Grüße
Tijara |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 913
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 11:24: |
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Hi!
Das Studium hat sich schon so mancher einfacher vorgestellt...
Aber für die Aufgabe 3 hätte ich was:
Wir können hier das Quotientenkriterium anwenden.
Dazu betrachten wir die Quotientenfolge qn mit:
q{n} = an+1/an = fn/fn+1
Wir wollen zeigen, dass für all diese Quotienten für n³2 gilt:
qn £ 2/3
Induktionsanfang (n=2, n=3):
q2 = f2/f3 = 2/3 £ 2/3
q3 = f3/f4 = 3/5 £ 2/3
Induktionsvoraussetzung:
qn-1 £ 2/3, qn £ 2/3
Induktionsschritt (n-1,n -> n+1):
qn+1 = fn+1/fn+2
= (fn + fn-1) / (fn + fn+1)
= fn / (fn + fn+1) + fn-1 / (fn + fn+1)
= fn / fn * 1/(1 + 1/qn) + fn-1 / fn * 1/(1 + 1/qn)
(I.V.) £ 1/(1 + 3/2) + 2/3 * (1 + 3/2)
= 1/(5/2) + 2/3 * 1/(5/2)
= 5/3 / (5/2) = 5/3 * 2/5 = 2/3
Da also alle Quotienten a-{n+1}/an ab n=2 kleiner oder gleich 2/3 sind, können wir das Quotientenkriterium verwenden. Das kannst du selber nachschlagen...
Übrigens kannst du dann auch gleich unter Fibonacci-Zahlen nachschlagen
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 719
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 13:24: |
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Tijara,
Hier einige Hinweise:
1. | (k+1)-pzk+1/[k-pzp] | = (1+1/k)-p |z|
Für k® ¥ strebt das gegen |z|.
Fallunterscheidung : (1) |z|<1 (2) |z| = 1 (3) |z| > 1.
2. Schreibe
sqrt(k+1)-sqrt(k)
= 1/[sqrt(k+1)+sqrt(k)]
= k-1/2/[sqrt(1+1/k) + 1].
Der k-te Summand der Reihe ist also gleich
kp-1/2/[sqrt(1+1/k)+1].
Fallunterscheidung: (1) p < - 1/2 (2) p= - 1/2 (3) p> - 1/2
Beachte, dass S¥ k=1 k-s für s>1
konvergiert und für s£1 divbergiert.
mfG Orion
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Tijara (Tijara)
Neues Mitglied
Benutzername: Tijara
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 23:03: |
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DANKE! Hast mir sehr geholfen!!! So schnell werd ich aber nicht die Flinte ins Korn werfen mit dem Studium. Das Problem bei uns ist, dass wir mind. 50% der Aufgaben richtig haben müssen, dafür aber keine Klausuren schreiben. Hab schon riesigen Bammel vor Analysis 2...
Tijara |
