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Jcdenton (Jcdenton)
Junior Mitglied
Benutzername: Jcdenton
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 16:44: | 
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Hallo!
Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Wieviel Möglichkeiten gibt es um 1 € in Cent-Münzen auszuzahlen?
Ich weiß, dass das Ergebnis 4562 ist, nur fehlt mir die Herleitung dazu. |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 711
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 09:01: |
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Jcdenton,
Es gibt die 6 Münzen im Wert von 1,2,5,10,20 und 50
€-Cent. Nennen wir die betr. Stückzahlen
x1,...,x6, so soll also gelten
x1+2x2+5x3+10x4+20x5+50x6=100.
Gefragt ist nach der Anzahl der Lösungen
(x1,....,x6) dieser Gleichung in nichtnegativen
ganzen Zahlen. Dazu betrachtet man die Funktion
f(z) = 1/[(1-z)(1-z2)(1-z5)(1-z10)(1-z2)(1-z50]
= (1+z+z2+...)(1+z2+z4+...)(1+z5+z10+
...)(1+z10+z20+...)(1+z20+z40+...)*
(1+z50+z100+...)
und denkt sich f(z) als formale Potenzreihe
f(z) = S¥ k=0 A(k) zk
entwickelt.Die gesuchte Anzahl ist dann gerade der Koeffizient
A100 von z100, nämlich A100 = 4562.
Die Rechnung ist nicht allzu aufwendig, denn man braucht nur wenige Glieder zu berücksichtigen.
mfG Orion
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1772
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 09:25: |
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@Orion:
hast Du einen Link auf etwas wo dieses Lösungsverfahren auch hergeleitet wird?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jcdenton (Jcdenton)
Junior Mitglied
Benutzername: Jcdenton
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 18:15: |
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Danke für die Hilfe! |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 716
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 08:00: |
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@Friedrichlaher :
Die Methode der "abzählenden Potenzreihen" kannte
schon Euler. Lesbare Darstellung (elementar) in
Max Jeger, Einführung in die Kombinatorik,
Klett-Verlag (Reihe Klett Studienbücher)
mfG Orion
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1775
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 08:20: |
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Danke. Schade dass ich so jung bin.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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