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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3110
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 10:11: | 
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Hi allerseits,
Es folgt die Aufgabe LF 120, wiederum zum
Thema der analytischen Geometrie des Raumes:
Gegeben ist die Kugel
x^2 +(y-3)^2 + (z-4)^2 = 1/3 und der Punkt S(1/2/3).
Man ermittle eine Koordinatengleichung des
Berührungskegels der Kugel mit S als Spitze.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 952
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 16:07: |
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Hi megamath,
wieder ein Leckerbissen. Eine echte Herrausforderung!
Mir ist es gelungen die Polarebene zu berechnen, die den Berührkreis der Kugel und des Kegels enthält!
E : 3x - 3y - 3z = -20
In dieser liegt der Mittelpunkt des Berührkreise M ( (1/9) | (26/9) | (35/9) ) und dessen Radius r= (2/3) * sqrt(2/3)!
Wie soll ich un fortfahren? Ich habe nun die Spitze S ( 1 | 2 | 3 ) und einen Kreis des Kegels, könnte nun also eine Mantellinie bilden..., aber das bringt mich irgendwie nicht weiter?
Wie könnte ich hier fortfahren? Kannst du einen Hinweisgeben?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3116
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 18:04: |
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Hi Ferdi
Gerne will ich Dir weiterhelfen.
Mit dem Kugelradius r und dem Abstand a der Kegelspitze S vom Mittelpunkt M der Kugel
kannst Du den halben Oeffnungswinkel phi des Kegels berechnnen.
Dann nimmst Du eien laufenden Punkt P(x/y/z)
der Kegelfläche an und formulierst,dass
die Mantellinie SP mit der Kegelachse SM
den konstanten Winkel phi bildet 
Die Poarebene brauchst Du in diesem Fall nicht
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 954
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 19:58: |
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Hi megamath,
das wird wohl helfen.
Aber lass mir ein wenig Zeit. Hab grad Besuch bekommen  , man muss auch mal feiern können!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3118
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 20:05: |
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Hi Ferdi,
Lass Dir nur Zeit!
Ich bin gerade auch anderweitig beschäftigt
Das muss auch einmal sein!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 955
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 15:45: |
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Hi megamath,
ich bin nun zu weiteren Berechnungen gekommen!
Wir hatten ja schon den Schnittkreis:
M'( (1/9) | (26/9) | (35/9) ) , r= (2/3)*sqrt(2/3)
Der Abstand der Spitze zum Schnittkreis ist dann a = (8/9)*sqrt(3)!
Bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck, mit der Katheten r und a, wir können also nun den halben Öffnungswinkel phi berechnen:
tan(phi) = r / a = (1/4)*sqrt(2)
das ist in "Cosinussprechweise" cos(phi) = (2/3)*sqrt(2)!
Nun nehmen wir den laufenden Punkt auf dem Kegel P(x|y|z) und bilden die Vektoren SP und SM
SP = ( (1-x) , (2-y) , (3-z) )
SM = 8/9* ( 1 , -1 , -1 )
Nun fordern wir das diese Vektoren den Winkel Phi einschliesen, wir benutzen die Formel:
cos(phi) = (a.b)/(|a|*|b|) , daher die Umformung in Cosinus!
Wir erhalten dann nach einiger Vereinfachung:
3 * ( -x + y + z - 4 )^2 = 8 * ( (1-x)^2 + (2-y)^2 + (3-z)^2 )
als Kegelgleichung!
So hoffe mal das stimmt so, ansonsten verbessere mich. Gibt es auch die Möglichkeit diese Aufgabe mit der Polarentheorie zu lösen? Das kommt einem so ins Gedächtniss, Tangentialebenen an eine Kugel von einem Punkt auuserhalb der Kugel...
mfg
(Beitrag nachträglich am 29., November. 2003 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3121
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 16:08: |
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Hi Ferdi,
Ich werde das Resultat nachprüfen; ich habe es selber noch
nicht gerechnet.
Bei der Aufgabenstellung habe ich darauf geachtet, dass die
Kegel der Aufgaben LF 119 und LF 120 identisch sind
Darf ich Dich bitten zu prüfen, ob das zutrifft?
Die Idee mit der Polarebene ist grundlegend.
Man bekommt fast gratis einen Leitkreis des Kegels
und kann dann mit einem laufenden Punkt dieses Kreises zu den
Mantellinien einschwenken, wie gehabt.
Die Methode mit dem Skalarprodukt liegt mir persönlich besser.
Nun hätte ich als Aufgabe LF 122 ein Problem, das ich selber,
sagen wir aus Zeitgründen, noch nicht gelöst habe.
Die Aufgabe erscheint mir als zu schwierig.
Es handelt sich um Kreisschnitte eines Kegels.
Soll ich sie anbieten?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 956
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 18:37: |
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Hi,
also der halbe Öffnungswinkel stimmt schon mal! Den Rest muss ich später mal überprüfen, oder du...
Du kannst deine LF 122 ja ruhig mal ins Netz stellen, irgendwer wird sie schon lösen, es gibt ja mittlerweile viele die an der LF teilnehmen!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3123
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 10:10: |
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Hi Ferdi,
Es ist nicht schwierig, nachzuweisen, dass die Kegel aus
den beiden Aufgaben 119 und 120 identisch sind.
Beim Kegel 119 können wir sofort einen Richtungsvektor v
der Kegelachse angeben. Er stimmt mit dem Normalenvektor
{-1;1:1} der Leitkreisebene E überein.
Denselben Richtungsvektor findest Du auch bei der Achse
des Kegels der Aufgabe 120.
Beide Kegel stimmen außerdem
in den Spitzen und Öffnungswinkeln überein
sufficit !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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