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Cornelius (Cornelius)
Neues Mitglied
Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 15:45: | 
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Hi!
Ich hab hier drei Berechnungen von Reihen durchzuführen, komme aber einfach nicht voran.
1. Summe (von k=1 bis Unendlich) über (k(k+2))^-1 ... Mathematica spuckt mir da den Wert 3/4 aus, nur hab ich keine Ahnung, wie ich da hin komme. Habs mit Partialbruchzerlegung probiert, kam aber danach auch nicht wirklich weiter.
2. z mit |z|<1 fest gegeben: (1+z)(1-z)^-3=Summe (von k=0 bis unendlich) über (k+1)^2 z^k ... Dies soll ich zeigen... nur wie?
3. und letztens... Summe (k=0 bis unendlich) über k^2 2^-k... Hier spuckt Mathematica den Wert 6 aus... Wie kommt man dahin???
Bitte helft mir. Ich studier eingentlich Physik und muss aber die Aufgaben für Mathematiker lösen... das nur mal als Entschuldigung vorne weg ;-)
Gruß
Cornelius |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 714
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 17:10: |
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Cornelius,
Hier eine kleine Initialzündung:
1/k/(k+2)= (1/2)[1/k - 1/(k+2)]=
(1/2)[1/k-1/(k+1)+1/(k+1)-1/(k+2)]
Daher gilt für die n-te Teilsumme S(n) der Reihe
S(n) = Sn k=1 1/k/(k+2)=
(1/2) Sn k=1[1/k-1/(k+1)]
+ (1/2) Sn k=1 [1/(k+1)-1/(k+2)]
= (1/2)[1-1/(n+1)]+(1/2)[1/2 - 1/(n+2)]
Hier haben wir uns den sog. Teleskopeffekt zunutze
gemacht !
Offenbar gilt nun S(n) ® 1/2 +1/4 = 3/4 für
n ® ¥ .
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 715
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 17:29: |
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Hinweis:
Betrachte die für |z| < 1 absolut konvergente
Potenzreihe (geometrische Reihe !)
f(z) := 1/(1-z) = S¥ k=0 zk.
Dann ist (rechne nach !)
S¥ k=0 k2 zk = z2*f''(z) + z*f'(z)
= 2 z2/(1-z)3 + z/(1-z)2
Es folgt als Lösung von Nr.3.: f(1/2) = 6.
Es ist nun leicht, S¥ k=0 (k+1)2 zk
durch f(z),f'(z) und f''(z) auszudrücken, womit
auch Nr.2. erledigt wäre. Beachte, dass jeweils
gliedweise Differentiation der auftretenden Reihen
gestattet ist.
(Beitrag nachträglich am 26., November. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Cornelius (Cornelius)
Neues Mitglied
Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 19:15: |
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Hi!
Also das erste hilft mir bestens weiter!!! DANKE!!! Nur bei den anderen beiden... Ableitungen hatten wir noch nicht in der Vorlesung und dürfen sie folglich auch nicht verwenden... Gibts da noch ne andere Möglichkeit, oder heißt der Strich hinter dem f was anderes?
Gruß
Cornelius |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 717
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 08:42: |
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Cornelius,
Vorschlag: Berechnen wir zuerst
S1 := S¥ k=0 k zk.
Dazu beachten wir , dass
(k+1)zk+1 - k zk = (z-1) k zk + zk+1.
Dies summieren wir von k=0 bis n. Links entsteht
(Teleskopeffekt !) (n+1) zn+1, also
(n+1) zn+1
= (z-1) Sn k=0 k zk + z Sn k=0 zk.
Nun sei |z| < 1 . Dann gilt (n+1)zn+1 ® 0
für z ® ¥. Daher
0 = (z-1) S1 + z/(1-z) =>
S\-(1) = z/(1-z)2.
Denselben Trick verwenden wir, um
S2 := S¥ k=0 k2 zk
zu bestimmen:
(k+1)2 zk+1 - k2 zk =
(z-1)* k2 zk+ 2 z *k zk + z*zk.
Nach Aufsummieren (k=0,...,n) bleibt links
(n+1)2 zn+1, das strebt für |z|<1 gegen 0 . Rechts ergibt sich
(z-1) S2 + 2z S1 + z/(1-z).
mfG Orion
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Cornelius (Cornelius)
Neues Mitglied
Benutzername: Cornelius
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 22:59: |
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Hi!
Vielen vielen Dank!!! Die ersten beiden hab ich dank deiner Hilfe gut lösen können. Bei der dritten hab ich noch so meine Probleme, weil ich am Ende 4*(Summe von k>=3 über 2^-n -1) da stehen hab und das Ganze ja dann gegen 4 und nicht gegen 6 geht. Hoffe, dass ich morgen den Denkfehler finde.
Gruß
Cornelius |
