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Invertierbare Matrix

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Stylar (Stylar)
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Junior Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 15:28:   Beitrag drucken

Hi.

Ich komm bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter:

Sei A=
(a b)
(c d)
eine (2,2)-Matrix über dem Körper K. Es sei A´=(d -b)
(-c a).
Beweise:
1) Es gilt A*A´=A´*A=
(ad-bc 0)
(0 ad-bc).

2) Es ist A genau dann invertierbar, wenn ad-bc ungleich = gilt.

Den ersten Teil habe ich, allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich den zweiten Teil zeigen kann.

"=>" Sei A invertierbar. So müßte ich wohl anfangen, gell? Aber wie gehts dann weiter? Was folgt denn daraus?

Wäre für eine Beseitigung der Denkblockade sehr dankbar...

Stylar
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 774
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 18:53:   Beitrag drucken

Hi,

Die invertierte Matrix M* von
(a b)
(c d) = M lautet

(d/D -b/D)
(-c/D a/D) = M*

in allen Elementen der invertierten Matrix steht die Determimante D

|a b|
|c d| = D = ad - bc

im Nenner! Wenn die Matrix also invertierbar sein soll, muss diese Determinante ungleich Null sein, ad - bc <> 0 oder ad <> bc.

Gr
mYthos
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Stylar (Stylar)
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Junior Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 19:03:   Beitrag drucken

Hi.

Du hast geschrieben:
|a b|
|c d| = D = ad - bc
sind das bei |a b| bzw. |c d| Betragstriche?!? Steht zwischen den Zeilen ein Bruchstrich oder ist das eine neue Matrix?
Wir hatten noch nichts mit Determinanten! Kann man das auch irgendwie anders lösen, also ohne Determinanten? Ich mein, ich habs verstanden, aber ich darf es ja nicht anwenden...

Gruß,Stylar
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 722
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 19:04:   Beitrag drucken

Die Rückrichtung von 2) ist ganz einfach, wenn Du 1) schon hast.
"<=" Wähle B=(1/(ad-bc))*A´ => AB=BA=E

"=>" A invertierbar
=> es gibt eine Matrix B mit AB=BA=E
=> A´=BAA´=(ad-bc)B
Da A¹0 ,ist auch A´¹0 und somit (ad-bc)¹0

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