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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3039
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 14:55: | 
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Hi allerseits
Zur Feier des Tages kommt mit der Aufgabe LF 105
die altbewährte Gammafunktion zum Zug.
Die Aufgabe stammt aus der erwähnten
Aufgabensammlung von Pôlya / Szegö; sie lautet
Beweise
GAMMA (u)
= lim {(ln 1/t) ^ u * [1^(u-1) t + 2^(u-1)t^2 + 3^(u-1)t^3 +….]},
limes im Sinne von t strebt fallend gegen 1 und in der eckigen
Klammer steht eine unendliche Reihe mit dem allg. Glied
ak = k ^ (u-1) * t ^ k.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3051
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 16:56: |
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Hi allerseits
Hinweise zur Lösung der Aufgabe LF 105
Gehe aus von der leicht herzuleitenden Beziehung
für eine monotone und integrable Funktion f(x):
lim {h [f(h) +f(2h) + f(3h)+…..]} = int [f(x) dx]
Grenzwert: h strebt fallend gegen null.
Integral: untere Grenze 0, obere Grenze unendlich.
Setze f(x) = e^ ( - x ) * x ^(u-1)
So entsteht rechts GAMMA(u).
Ferner sei e^(-h) = t daraus h = - ln t = ln (1/ t),
und so weiter und so fort.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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