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Stylar (Stylar)
Neues Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 14:49: | 
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Hey.
Ich steh mal wieder vor einem Problem die Konvergenz und den Grenzwert betreffend. Hier die Aufgabe:
{Fn} sei die Folge der Fibonacci-Zahlen definiert durch F0=F1=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Man zeige, dass die Folge {qn}n€N, qn:=Fn+1/Fn konvergiert und bestimmt den Grenzwert.
Ich dachte irgendwie, dass ich die Konvergenz über den Grenzwert und die e-Umgebung bestimmen müßte, aber das klappt ja irgendwie hier nicht ganz, oder seh ich das falsch?
Wäre toll, wenn mir jemand weiterhilft.
Danke, Stylar |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1721
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 15:32: |
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(Fn+1)/Fn=(Fn-1+Fn)/Fn
qn=(Fn+1)/Fn=1 + Fn-1/Fn= 1 + 1/qn-1
wegen Fn-1 < Fn also 1 < qn < 2
Konvergenz also gesichert
Grenzwert
durch gleichsetzen 2er einander Folgender q
bestimmen
q = 1 + 1/q
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Stylar (Stylar)
Neues Mitglied
Benutzername: Stylar
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. November, 2003 - 14:41: |
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qn= 1 + 1/qn-1
Das versteh ich nicht ganz, kannst du das vielleicht erklären?
Grenzwert
durch gleichsetzen 2er einander Folgender q
bestimmen
q = 1 + 1/q
}
Das hab ich auch nicht wirklich kapiert. Ich würde jetzt den Grenzwert folgendermaßen berechnen:
lim qn = lim (1+Fn-1/Fn) = 2 ?!? Meintest du das? Wahrscheinlich nicht, denn ich hab nichts gleichgesetzt... Wäre nett, wenn du mir das noch einmal erklären würdest.
Danke.
Stylar |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1731
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. November, 2003 - 18:56: |
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qn:
aus der Def. qn=Fn+1/Fn
folgt
durch Substitution n -> (n-1)
eben
qn-1=Fn/Fn-1
somit
Fn-1/Fn = 1/qn-1
womit
also 1 + Fn-1/Fn = 1 + 1/qn-1
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wenn Konvergenz gesichert ist,
also festesteht, dass eine Folge einen Grenzwert
hat
bedeutet das, wenn qn+1=f(wenn qn) gilt
dass für den
Grenzwert q dann q = f(q) gilt .
Im speziellen Fall also
q = 1 + 1/q, q² = q+1
q² - q - 1 = 0; q = [1 + Wurzel(5)]/2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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