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probleme mit der vollständigen indukt...

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Since (Since)
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Benutzername: Since

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 18:35:   Beitrag drucken

hallo zusammen ich habe hier ne auf gabe bei der ich nicht ganz zum schluss finde ..
aufgabe: man zeige, das für alle n E No die aussage A(n) besteht, wobei
A(n):=1+2^2n+4^2n durch 7 teilbar ist!
A(n):=1+2^2n+4^2n ; (n E N) n=1
A(n):=1+6+16= 21 :3=7 ist wahr!

A(n):=1+2^2n+4^2n für alle (n E N) ; n=(n+1)
:=1+2^2n*2^2+4^2n*4^2
:= ????? ich weis nicht wie ich das lösen soll ich habe die potenzen umgewandelt und hoffe das das richtig war? kann mir vieleicht jemand helfen???ich weis nicht wie ich das vollenden kann
würde mich über eine antwort sehr freuen!!

MfG Since

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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 289
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 05:42:   Beitrag drucken

Hi,

Der Beweis kann nicht gelingen!
Setze mal Zahlen der Form n=3m ein.


Gruß,Olaf
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Since (Since)
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Benutzername: Since

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 08:50:   Beitrag drucken

also erst mal danke , denn ich bin fast verrückt geworden!kannst du mir auch vielicht sagen wie du daruf kommst! ich habe ein bischen probleme damit?
wäre echt net wenn du es mir zeigen könntest!

MfG Anwar
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 684
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 09:49:   Beitrag drucken

Since,

Die Aussage soll vermutlich heissen:

Für alle neN0 gilt

3 | A(n):= 1 + 22n + 42n.

Das ist wahr für n=0 (A(0) = 3) und sei für irgendein
n >= 3 schon gesichert. Dann ist

A(n+1) = 1+4*22n + 16*42n

= 1+4*22n + 16*[A(n)-22n-1]

= 16*A(n)-15-12*22n

woraus nach Induktionsannahme

3 | A(n+1)

folgt.
mfG Orion
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Since (Since)
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Benutzername: Since

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 15:44:   Beitrag drucken

danke orion, aber ich wil einfach nicht verstehen wie was du bei den beiden schritten hier getan hast , verzeih mir bitte mein unwissen aber ich bin echt ein anfänger und würde mich sehr freuen wenn du das noch mal erklärst..... ich weis auch nicht wie das hätte besser schreiben können bei meiner obrigen frage??


A(n+1) = 1+4*2^2n + 16*4^2n

= 1+4*2^2n + 16*[A(n)-2^2n-1]

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Since (Since)
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Benutzername: Since

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 16:22:   Beitrag drucken

sorry orion aber ich habe oben geschrieben
A(n):=... ist teilbar durch 7 ! nicht druch 3 wie du es geschrieben hast bei deiner erläuterung.das habe ich auch erst jetzt bemerkt!
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 687
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 16:53:   Beitrag drucken

Since,

Es geht um einen Induktionsbeweis. Also muss man
irgendwie A(n+1) mit A(n) in Verbindung bringen.
A(n+1) erhält man, indem man in dem Term A(n)
überall formal n durch n+1 ersetzt, also

A(n+1) = 1 + 22(n+1) + 42(n+1)

Das lässt sich nun algebraisch umformen (Potenzregeln !)

A(n+1) = 1 + 22n+2+42n+2

= 1 + 22*22n + 42*42n

= 1 + 4*22n + 16*42n

Nun muss man irgendwie wieder A(n) in's Spiel bringen. Z.B. lösen wir die gegebene Gleichung für A(n) nach 42n auf:

42n = A(n) - 22n - 1

und setzen dies in die vorherige Zeile bei A(n+1)
ein. Das ergibt dann

A(n+1) = 1+4*22n + 16*[A(n)-22n-1]

Uebrigens : Die Aussage 7 | A(n) ist sicher nicht
allgemeingültig, z.B . sind A(0)=3 und A(3) = 4161
nicht durch 7 teilbar. Hier liegt wohl ein Missverständnis vor.



(Beitrag nachträglich am 03., November. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Since (Since)
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Benutzername: Since

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 03. November, 2003 - 22:10:   Beitrag drucken

orion danke für deine hilfe und deine gedult, ich kann nun nach vollziehen was du in den schritten getan hast!
hoffe das ich mich mal wieder melden kann wenn ich ein problem habe!

MfG Anwar
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 688
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 10:44:   Beitrag drucken

You are welcome.
mfG Orion
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Since (Since)
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Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 21:20:   Beitrag drucken

hallo habe wieder ein problem mit der vollständigen induktion.

aufgabe
Sigma k^2= 1/6*(n+1)*(2n+1) wobei n=1
also ist n E N !

so weit habe ich es geschafft bitte verbessrungen machen wenn fehler gefunden werden.

<=> A(n) für alle n E N
zu zeigen:
A(n) d.h. = 1/6 (1+1)*(2*1+1)= 1 , also wahr!

zu zeigen:
A(n+1) d.h ..... ??? hier verstehe ich die volge der induktion nicht mehr , das ich das n+1 einsetzte weis ich aber wie gehts dann weiter??
danke im voraus.

MfG Since
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1762
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 21:42:   Beitrag drucken

Du mußt zeigen
daß
(1/6)*[(n+1)+1][2(n+1)+1] = (1/6)*(n+1)*(2n+1) + (n+1)²
gilt:
Links wie es nach der Formel, für n+1, gelten müßte,
rechts, unter der Annahme, daß es für n gilt

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 276
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Montag, den 24. November, 2003 - 21:57:   Beitrag drucken

Hallo Since,
deine Summenformel stimmt so nicht. Du hast ein n vergessen. Richtig ist
Sn 1k²=1/6*n*(n+1)*(2n+1)

Also gut:
A(1): S1 1k²=1²=1/6*1*(1+1)*(2+1)=1
A(1) ist also wahr. Das hattest du schon gezeigt, nur etwas verworren hingeschrieben.
Nun müssen wir zeigen:
Wenn A(n) gilt, dann gilt auch A(n+1).
Wie lautet denn A(n+1)? Wir müssen jedes n aus A(n) durch n+1 ersetzen. Vielen Menschen macht es Schwierigkeiten, eine Variable (n) durch einen Term zu ersetzen, der dieselbe Variable enthält (n+1). Warum also sollten wir nicht einfach n durch m+1 ersetzen?
zu zeigen: Sm+1 1k²=1/6*((m+1)*(m+1)+1)*(2(m+1)+1)
=1/6*(m+1)*(m+2)*(2m+3)=1/6*(2m³+9m²+13m+6)
Also los
A(m+1):Sm+1 1k² =
1²+2²+...m²+(m+1)²=
Sm 1k²+(m+1)²=
1/6*m*(m+1)*(2m+1)+(m+1)²=(Induktionsvoraussetzung)
1/6*(2m³+3m²+m)+m²+2m+1=
1/6*((2m³+3m²+m)+(6m²+12m+6))=
1/6*(2m³+9m²+13m+6)
q.e.d.


Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Benutzername: Since

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 00:38:   Beitrag drucken

also danke erst mal und ich muss sagen ja habe hier voll was falsches abgeschrieben sorry, gut das du es gemerkt hast und danke für die aufklärung

MfG Since
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Since (Since)
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Junior Mitglied
Benutzername: Since

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 12. Dezember, 2003 - 18:21:   Beitrag drucken

Hallo zusammen ,

also alt bewehrtes Problem wie mit einen nicht all zu schweren Vollst. Induktion
würde mich freuen wenn mir jemand ein bisschen helfen kann …. Danke im Voraus!

Positive Zahlenfolge !

a1 := 7 a n+1 := 4 a n+1+3 / a n+1 := 4 – 5 /a n +2 n &#949; N !


ich muss dazu sagen das ich bei dem 2 schritt der Voll. In. Keine weiter Lösung habe finden können.

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