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Beitrag |
    
Dany (dreaminggirl)
Junior Mitglied
Benutzername: dreaminggirl
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Juni, 2003 - 19:40: | 
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Hi ihr,
ich steh mal wieder auf dem schlauch, wäre nett, wenn mir jemand helfen kann, da ich die punkte dringend brauche.
Sei K ein Körper, A element K hoch n,n und v e K hoch n mit A hoch p-1 mal v (v wieder unten) ungleich 0 und A hoch p mal v (v wieder unten)=0 für p element N.
Zeige: Die Vektoren v,Av,....,Ahoch p-1 mal v (v unten) element K sind linear unabhängig.
Danke |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1416
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 16:48: |
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Hallo Dany,
angenommen, v, Av, ... , Ap-1v sind linear abhängig. Dann gibt es b0, ... , bp-1 aus K, die nicht alle Null sind, sodass
(*) Sp-1 i=0 biAiv = 0
Sei j minimal, sodass bj ungleich Null.
Multipliziere (*) von links mit Ap-1-j:
Sp-1 i=0 Ap-1-jbiAiv = 0
<=>
Sp-1 i=0 biAp-1-j+iv = 0
<=>
bjAp-1v = 0
(Die ersten j-1 Summanden sind Null, da bi = 0, und die letzten Summanden sind Null, da für i > j gilt
biAp-1-j+iv = biAi-jAp-1v = biAi-j0 = 0)
<=>
Ap-1v = 0 Widerspruch zur Voraussetzung! |
Dany (dreaminggirl)
Junior Mitglied
Benutzername: dreaminggirl
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 20:19: |
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Hi du,
danke schön ersteinmal.
was meinst du mit minimal? ich glaube den begriff haben wir nochz nciht eingeführt... |
Stefan Ott (sotux)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: sotux
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Juni, 2003 - 21:02: |
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minimal heisst umgangssprachlich "möglichst klein" |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1418
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Juni, 2003 - 00:07: |
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Genau! "Minimal" heißt "so klein wie möglich". Wenn nicht alle bi gleich Null sind, dann gibt es ein kleinstes i - das nennen wir dann j - so dass bi ungleich Null. |
Meysam (Meysam)
Neues Mitglied
Benutzername: Meysam
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 12:16: |
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Hallo Freunde ich brauche dringend Hilfe
Man zeige, dass in dem IR-Vektorraum R^R=Map(R;R) die folgenden drei Funktionen linear unabhängig sind
f : R----R x---- sin 3x
f : R----R x----sin x
f : R----R x----(sinx)^3
V sei ein Vektorraum und Ui iE{1,2,3} seien Teilräume zeigen Sie
(a) U1+(u2 vereinigt U3)element von (u1+u2)vereinigt(u1+u3)
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 936
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 12:59: |
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Hi!
Um zu zeigen, dass die drei Funktionen linear unabhängig sind, musst du nachweisen, dass sich die Nullfunktion N mit N(x)=0 für alle x nur trivial daraus linear kombinieren lässt.
Also wollen wir zeigen:
Aus
a*sin x + b*sin³ x + c*sin 3x = 0
folgt:
a = b = c = 0.
Dazu schauen wir zuerst in eine Formelsammlung und entdecken folgende Beziehung:
sin 3x = 3sin x - 4sin³ x
Das setzen wir in unsere Gleichung ein:
a*sin x + b*sin³ x + c*(3sin x - 4sin³ x) = 0
<=> (a+3c)sin x + (b-4c)sin³ x = 0
<=> (sin x) * ((a+3c) + (b-4c)*sin² x)
<=> sin x = 0 oder (a+3c) + (b-4c)*sin² x = 0 (für alle x!)
Da wir wissen, dass sin x verschiedene Werte annimmt, insbesondere also nicht konstant 0 ist, betrachten wir die zweite Gleichung:
(a+3c) + (b-4c)*sin² x = 0
<=> a = (4c-b)*sin² x - 3c
Da b und c konstant sind, sin² x aber mit x variiert, steht fest, dass die Gleichung nur erfüllt werden kann, wenn beide Seiten 0 sind, also:
a=0 und somit:
(4c-b)*sin² x - 3c = 0
<=>c(4sin² x - 3) = b sin² x
Da sin² x¹0 (sonst wären wir bereits oben fertig gewesen), teilen wir durch sin² x und erhalten:
b = c*(3 - 3/sin² x).
Da aber c konstant ist, sin² x aber variabel, kann b nur konstant sein, wenn beide Seiten der Gleichung 0 sind.
Also:
b = 0 und somit:
c*(3 - 3/sin² x) = 0
Es ist klar, dass dann auch c=0 sein muss.
Somit erhalten wir tatsächlich:
Die Gleichung a*sin x + b*sin³ x + c*sin 3x = 0 wird für alle x nur im Falle a=b=c=0 erfüllt.
Also sind die drei Funktionen linear unabhängig.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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