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Körper mit 4 Elementen

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Nely (Nely)
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Neues Mitglied
Benutzername: Nely

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 14. November, 2003 - 17:57:   Beitrag drucken

Hallo,
habe eine Aufgabe in Algebra, mit der ich nicht richtig klar komme. Man soll zeigen, dass gilt:
In IF2[X]ist das Polynom f(X)=x^2 + X + 1 irreduzibel und es gibt einen Körper mit vier Elementen.
Weiterhin ist gefragt, ob es auch einen Körper mit 8, 10 oder 25 Elementen gibt.
Hat jemand einen Tipp für mich und kann mir sagen, wie ich vorgehen muss?
Schonmal vielen Dank und ein schönes Wochenende!!!
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Basicuser1 (Basicuser1)
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Neues Mitglied
Benutzername: Basicuser1

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 22:15:   Beitrag drucken

Hallo!
1) Zunächst mal zur Irreduzibilität von f(x):
Zunächst ist es hilfreich zu überlegen, welche Polynome 2. Grades es in IF2[X] gibt:
X^2 = X*X -> reduzibel
X^2 + X = X*(X+1) -> reduzibel
X^2 +1 = (X+1)^2 = (X+1)*(X+1) -> reduzibel
Man sieht an der Faktorisierung sofort, dass alle Faktoren Nichteinheiten (keine invertierbaren Elemente des IF2[X]) sind, woraus Reduzibilität folgt. Bleibt als letztes Polynom f(X) = X^2 + X + 1.
Angenommen, f sei reduzibel, also f = g*h mit g,h aus IF2[X] \ IF[X]* und g,h ungleich 0 (IF2[X]* ist die Gruppe der invertierbaren Elemente in IF2[X]). Wegen grad(f) = grad(g*h) = grad(g) + grad(h) und IF[X]* = IF* bleibt nur die Möglichkeit grad(g) = grad(h) = 1. Aber man sieht, dass X*X = X^2 <> X^2 + X +1 = f(X). Damit ist f irreduzibel.
2) Zum Körper mit 4 Elementen: Hier braucht man jetzt Faktorisierung des Polynomringes IF2[X] modulo eines Ideals I C IF2[X](Restklassenbildung). Da IF2 ein Körper ist, sind in IF2[X] die von den irreduziblen Elementen erzeugten Hauptideale genau die Primideale in IF2[X]. Diese sind in IF2[X] maximale Ideale und somit ist IF2[X] / (g) [(g) ist das von g erzeugte (Haupt-) Ideal] ein Körper für jedes (normierte) irreduzible Polynom g aus IF2[X]. Betrachte nun IF2[X] / (f) für f = X^2 + X +1. Welche Nebenklassen gibt es? Man sieht:
f + 0 = X^2 + X + 1
f + 1 = X^2 + X
f + X = X^2 + 1
f + (X+1) = X^2
Man erhält also genau 4 Nebenklassen bezüglich f. Also ist |IF2[X] / (f)| = 4 und, weil f irreduzibel ist, ist IF2[X] / (f) ein Körper mit 4 Elementen.
3) Die Ordnung eines endlichen Körpers K kann nur p^m sein für p Primzahl und m aus IN \ {0}. Damit ergibt sich: Es gibt nur einen Körper mit 5^2 = 25 Elementen.
Viele Grüsse.

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