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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2939 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 08:02: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 88 ist eine Verallgemeinerung von LF 87. Die Relation x ^ p + y ^ p = 1 stellt eine geschlossene Kurve c dar ( p ist eine gegebene positive Konstante). Man beweise: der Flächeninhalt A des von c eingeschlossenen Gebietes beträgt: A = 2 / p *[ GAMMA (1/p) ] ^ 2 / GAMMA (2/p) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 919 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 14:08: |
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Hi megamath! Eine nette Aufgabe! Nach bestandener LKW-Fahrprüfung(ich habe jetzt die Fahrerlaubnissklasse BCE), mal wieder mathematisch arbeiten: x^p + y^p = 1 Umformen: y= [1 - x^p]^(1/p) Wir berechnen das Integral dieser Funktion im I.Quadranten, von null bis 1, wir gleichen durch multplizieren mit 4 aus (Symetrie)! 4* ò0 1 [1 - x^p]^(1/p) dx Substitution x=w^(1/p) ==> dx = (1/p) * w[(1/p)-1] dw (4*)/p*ò0 1 w^[(1/p)-1]*[1 - w]^(1/p) dw Die entspricht dem Betafunktion für B( [1/p] , [(1/p)+1] ) nun bringe ich die Gammafunktion ins Spiel: B( [1/p] , [(1/p)+1] ) = {G(1/p)*G([1/p]+1)}/G([2/p]+1) Das lässt sich mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gammafunktion überführen zu: G^2(1/p)/2*G(2/p) Insgesamt also: 4* ò0 1 [1 - x^p]^(1/p) dx = 2/p * G^2(1/p) / G(2/p) q.e.d. Dies Formel lässt sich nun ganz schön auf die LF 86 anwenden! Das diese Formel stimmt erkennt man, wenn man p=2 setzt. Es ensteht der Einheitskreis x^2 + y^2 = 1 ! Flächeninhalt ist pi! Die Formel gibt uns: 2/2 * G^2(1/2) / G(1) = pi ! Voila! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2948 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 14:15: |
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Hi Ferdi Meine Gratulationen für Beides: Führerschein für LKW und Bewältigung der Aufgabe LF 88 und damit auch der LF 87 Besten Dank für die Herleitung! MfG H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 921 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 16:51: |
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Hi megamath, Besten Dank für deine Gratulation! Es ist reizvoll die Aufgabe noch mehr zu verallgemeinern! Man bestimme den Flächeninhalt den die von der Relation x^p + y^p = a^p bestimmten Kurve einschliesst. Ergebniss: (2*a^2/p) * G^2(1/p)/G(2/p) Hier erhält man für p=2 den Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius a, sein Flächeninhalt pi*a^2! Man erhält das selbe durch dies wunderbar mysteriöse Formel! Weiß man auf wen sie zurück geht, wer sie gefunden hat? mfg
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