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Niliz (Niliz)
Junior Mitglied Benutzername: Niliz
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 01-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 20:10: |
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Hi! Wie löse ich folgende DGL allgemein? z' = (1/x)*z-x^2 Die Lösung ist: z = x/2 *( c-x^2) Ich komme nur nicht auf die Lösung :-) Danke im voraus Grüsse Moni |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2933 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 09:33: |
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Hi Mona, Eine Vorbemerkung: Die vorliegende Dgl ist keine eigentliche BERNOULLIsche Differentialgleichung. Die allgemeine Form einer solchen Dgl lautet (y als abhängige Variable): y´+ P(x) y + Q (x) y ^ m = 0 , wobei der Exponent m von null und eins verschieden sein soll, ansonsten die Gleichung linear ist. Ein Vergleich mit der von Dir vorgelegten Gleichung zeigt: m = 0. Deine Dgl lautet in der vergleichbaren Form: y´ - 1/ x * y + x ^ 2 = 0 mit P(x) = - 1/ x , Q(x) = x ^ 2 , m = 0 Lösungsgang Homogene Gleichung: z´ = 1 /x * z Trennung der Variablen: dz / z = dx / x, allg lösung: z = c * x Zur Auflösung der inhomogenen Gleichung verwenden wir die Methode der Variation der Konstanten, d.h. in z = c x sei jetzt c variabel; wir setzen z = c(x) * x dann wird wegen der Produktregel z´ = c´ x + c Das setzen wir in die gegeben Dgl. ein; es kommt: c´ x + c = 1 / x * c x – x ^ 2, vereinfacht: c´ = - x, eine Dgl für c(x). Mit k als Integrationskonstante entsteht: c = - ½ x^2 + k, somit z = x ( - ½ x^2 + k ) oder mit K = 2 k z = ½ x (K – x^2) wie von Dir angekündigt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser, megamath
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Pendragon (Pendragon)
Junior Mitglied Benutzername: Pendragon
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 17:54: |
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@megamath Zitat:" y´ - 1/ x * y + x ^ 2 = 0 mit P(x) = - 1/ x , Q(x) = x ^ 2 , m = 0 " aber m ist hier nihct null ;-) Gruß
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