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Javaguru (Javaguru)
Neues Mitglied
Benutzername: Javaguru
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 14:57: | 
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Hallo Leute
ich hab leider keine Ahnung, wie man diese Aufgabe angehen kann. Vielleicht kann mir von euch jemand helfen?
Ein dreimotoriges Flugzeug stürzt ab, wenn der Hauptmotor in der Mitte ausfällt oder wenn beide Seitenmotoren ausfallen (natürlich stürzt es auch ab, wenn alle drei ausfallen. . .). Ein viermotoriges Flugzeug stürzt ab, wenn auf einer Seite beide Motoren ausfallen. Nehmen Sie an, dass jeder der Flugzeugmotoren mit der Wahrscheinlichkeit p auf einem bestimmten Flug ausfalle.
Berechnen Sie unter der Annahme der Unabhängigkeit für das Eintreten der Defekte an einzelnen Flugzeugmotoren die Wahrscheinlichkeit, dass ein dreimotoriges bzw. viermotoriges Flugzeug durch Motorversagen abstürzt.
thx
Markus
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 16:42: |
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Hallo Markus,
beim dreimotorigen Flugzeug würde ich so rechnen:
P(Absturz)=P(Hauptmotor futsch) + P(beide Seiten futsch) - P(alle futsch) = p + p^2 - p^3
Bei vier Motoren sollte entsprechend
P(Absturz) = 2*p^2 - p^4
rauskommen, immer getreu der Regel
P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2883
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 20:07: |
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Hi Markus, hi Stefan
Zu dieser Aufgabe und einer allfälligen
Lösung möchte ich ein paar Bemerkungen anbringen,
und zwar zunächst zum Fall des dreimotorigen Flugzeuges.
Es ist ein bekanntes, aber nicht leicht zu lösendes Problem.
Ich nehme das Resultat vorne weg.
Sei p, wie in der Aufgabenstellung, die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass ein einzelner Motor versagt.
Die Gegenwahrscheinlichkeit sei mir r bezeichnet, somit ist
r = 1-p.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine wegen
Motorenschaden abstürzt ist dann
P = P(r) = (1 - r )* (1 - r^2 )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Für p = 0,1 kommt P = 0,019
Für p = 0.01 gilt P = 0,000199 (bravo)
Die in der letzten Arbeit angegebene Formel
p + p^2 - p^3
kann nicht richtig sein; wir bekommen mit ihr
für p = 0.1 den Wert 0,109 > p und für
p = 0,01 den Wert 0,010099 >p
Um die Aufgabe zu lösen, muss man schon
etwas weiter ausholen und die Idikatorfunktion I
zu Hilfe nehmen:
Dese nimmt nur die Werte 1 und 0 an und
zwar ist I = 1, wenn der Motor funktioniert,
I = 0, wenn er versagt.
Im Fall der dreimotorigen Maschine erhält der
Hauptmotor den Indikator I1,
die Nebenmotoren die Indikatoren I2,I3.
Im so genannten Zuverlässigkeitsdiagramm sind zwei
parallele Stränge einzuzeichnen
(vergl. die Parallelschaltung von Widerständen).
Im einen Strang befindet sich der Hauptmotor,
im andern, in Serie, die beiden Nebenmotoren.
Laut Theorie ergibt sich die folgende Gleichung
dieser Schaltung bezüglich der involvierten
Indikatoren:
I = 1 – (1- I1)*(1- I2 * I3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
I wird eins: das Flugzeug fliegt
I wird null: Absturz
Beispiele
I1 = 1 , I2 = 0 bewirkt I = 1
I1 = 0 , I2 = I3 = 1 bewirkt I = 1
I1 = 0 , I2 = 0 , I3 nicht null bewirkt I = 0
usw.
Aus der unterstrichenen Formel wird durch Substitution
der Indikatoren durch Wahrscheinlichkeiten die von mir
am Anfang erwähnte Formel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 120
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 22:35: |
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Hallo Megamath,
so ganz steige ich bei deiner Argumentation noch nicht durch, aber so wie ich die Aufgabe lese, MUSS P(Absturz) größer als p sein, da der Ausfall des Hauptmotors schon hinreichend für einen Absturz ist, und der hat die W. p. Der Ausfall der beiden Seitenmotoren kann zusätzlich auch noch einen Absturz auslösen. Vermutlich ist deine Argumentation durchaus richtig, passt aber nicht zur Aufgabe. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2888
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 08:08: |
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Hi Stefan,
Wenn Du Interesse an Zuverlässigkeitsberechnungen hast,
möchte ich Dir das ausgezeichnete Buch von Arthur Engel,
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, empfehlen,
das vor längerer Zeit als Studienbuch im Klett-Verlag
erschienen ist.
Darin wird auch der Fall der viermotorigen Maschine ausführlich,
von allen Gesichtpunkten aus, behandelt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Aktuar (Aktuar)
Mitglied
Benutzername: Aktuar
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 09:24: |
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Hallo Megamath,
ich glaube, Sotux liegt mit seiner Bemerkung, dass deine Argumentation vermutlich korrekt ist, aber eine andere Aufgabenstellung erfordern würde, richtig.
Die Motorenzustände der 3motorigen Maschine können doch in 8 Fälle unterschieden werden. Dabei bezeichne N einen Nebenmotor, der funktioniert, und n einen ausgefallenen Nebenmotor. Analoge Bezeichnungen seinen für den Hauptmotor H gewählt.
Die folgenden Zustände der drei Motoren sind möglich:
NHN
nHN
NHn
nHn
NhN
nhN
Nhn
nhn
In den ersten drei Fällen stürzt die Maschine sicher nicht ab, da ja der Hauptmotor funktioniert.
In allen anderen Fällen soll die Maschine nach Voraussetzung aber abstürzen, da entweder der Hauptmotor nicht funktioniert (Fälle 5-8) oder beide Nebenmotoren ausgefallen sind (Fall 4).
Die in Frage stehenden Fälle sind 4 und 5. Bei deiner Argumentation stürzt die Maschine bei diesen Konstellationen nicht ab, da von den parallel geschalteten Motoren H und NN immer eine Kombination funktioniert. Addiert man dann nur die Ausfallwahrscheinlichkeiten für die letzten drei Fälle, so kommt man auf dein Ergebnis.
Für die Aufgabenstellung ist aber diese Betrachtungsweise nicht angebracht, da die Maschine in jedem Fall auch abstürzen soll, wenn beide Nebenmotoren oder der Hauptmotor ausfallen. Dies entspricht einer Serienschaltung von H und parallel geschalteten NN.
Viele Grüße aus dem sonnigen Hamburg
Michael |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2889
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 10:31: |
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Hi Michael,
Grüsse zurück,aus der regnerischen Schweiz !
Zur Aufgabe:
Wir argumentierten offenbar aus verschiedenen Gesichtswinkeln
bei der Interpretation der Aufgabe.
Hauptsache: das Flugzeug übersteht
einen allfälligem Motorenschaden
MfG
H.R.Moser megamath |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 16:01: |
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Hi Megamath,
danke für den Buchtipp, aber leider habe ich nicht viel Zeit zum Lesen. Als Passagier wäre mir dein Flugzeug übrigens auch sympathischer, so werden die Dinger hoffentlich auch in der Praxis gebaut ! |
Javaguru (Javaguru)
Neues Mitglied
Benutzername: Javaguru
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 16:37: |
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Hi Megamath
danke für deine Lösung. Ich habe sie bis heute nicht verstanden. Ich habe es versucht mit Mengen zu veranschaulichen und bin jetzt auch auf dein Ergenis gekommen. Und zwar wie folgt:
Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptmotor ausfällt p. Die Wahrscheinlichkeit das beide Seitenmotoren ausfallen ist p^2. Da jetzt aber die Schnittmenge aller drei Mengen doppelt gezählt wurden, muss p^3 wieder abgezogen werden. Somit ergibt sich eine Wahrschinlichkeit von p + p^2 - p^3
vielen Dank
Markus
(Beitrag nachträglich am 02., November. 2003 von javaguru editiert)
(Beitrag nachträglich am 02., November. 2003 von javaguru editiert) |
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